29 Оператор Гамильтона, диф.Операции 1-го и 2-го порядка

Первого порядка

дифференциальных операций второго порядка в виде таблицы.

∇²u = div grad u	ΔA = ∇²A
∇×∇u = rot grad u = 0	∇(∇A) = grad div A
∇(∇×A) = div rot A = 0	∇×(∇× A) = rot rot A
rot rot A = grad div A – ∇²A

30 Простейшие векторные поля: потенциальное, соленаидальное, гармоническое

К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное игармоническое.

Определение 1: Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

Определение 2: Векторное поле называется потенциальным илибезвихревым, если во всех точках поля Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция u(M) (потенциал векторного поля ), что . Потенциал векторного поля можно найти по формуле

где – произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля и и т.е. поле является соленоидальным и потенциальным. Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

31 Определение числового ряда, основные понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда

Пусть a1,a2,a3…a_n – числовая последовательность. Определение: Выражение вида a₁+a₂+…+a_n или a1,a2,a3…a_n_–члены ряда an – n-й член ряба (общий член ряда) Сумма n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой и обозначается Sn, Sn= Определение: Числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. сущ-ет конечный предел при x∞ Sn=S. Тогда S- сумма ряды Если посл-ть Sn не имеет конечного предела, то числовой ряд расходится.

Необходимое условие сходимости. Теорема: Если ряд сходится, то lim его общего члена равен 0. Док-во: Пусть S=limSn Sn=Sn-1+an, поэтому liman=lim(Sn-Sn-1) или =limSn-limSn-1=S-S=0 Следствие: ( достаточное условие расходимости): Если liman≠0 то - расходится Док-во: (от противного): Пусть - сходится, тогда по теореме liman=0 – противоречие.