1.Понятие матриц, виды матриц, примеры.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком. Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j -- номер столбца. В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец. Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

2. Умножение матрицы на число. Сложение матриц. Cвойства, примеры.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы А на число k.

- Cв-ва.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

- размеры разл.

Сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

3. Умножение матриц . Транспонирование матриц и их свойства. Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно, Транспонирование. если , то . Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде

4.Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: Определителем третьего порядка называется следующее выражение: Правило треугольников:

Пример: А= det A= 5×1×(-3)+(-2)×(-4)×6+3×0×1- 6×1×1-3×(-2)×(-3)-0×(-4)×5=-15+48-6-18=9

Определитель квадратной матрицы n-ного порядка равен алгебраической сумме парных произведений элементов i-той строки матрицы А на их алгебраические дополнения или j-го столбца на их алгебраические дополнения.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

5.Свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки или 2 пропорциональных столбца, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: aij=bj+cj, j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю..

9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.

10. Определитель двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.

11. Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. A11 A22 Ann

Теорема (о разложении определителя по строке): определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Это означает, что определитель матрицы n×n равен (алгебраическое дополнение Aij=(-1)i+jMij. Здесь минор Mij - определитель получаемый из основного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца)

Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы n×n к вычичлению n определителей матриц (n-1)×(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.

6. Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если det = 0. Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Свойства обратных матриц

Считаем det=1/5.

8

7. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Любой минор, отличный от 0, порядок которого равен рангу, называется базисным.

В матрице А выделим k произвольных строк и k столбцов. Составим det. Полученныйdet k-го порядка назыв минором к-го порядка. Ранг А- наивысший порядок ее миноров, отличных от 0. Теорема: Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Привести матрицу к виду верхней треуг или трапециевидной. Ранг- число ненулевых строк.

8.Матричный метод

Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными . Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

9.Метод Крамера.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Находим det

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

10. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

• перестановка строк или столбцов;

• умножение строки на число, отличное от нуля;

• прибавление к одной строке другие строки.

• Удаление нулевой строки

Любая СЛАУ может быть преобразована к виду системы, у которой расширенная матрица будет иметь ступенчатый вид.

Приведение системы к ступенчатому виду или расширенную матрицу к виду трапециевидной называется прямой ход Гаусса. Обратный ход – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым. Придавая неизвестным (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными).

Критерии совместимости СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Следствия:

1.Если r(A/B)=r(A), СЛАУ совместна, в прот случае нет.

2. r(A/B)=r(A)=n, n- число неизвестных.

3. r(A/B)=r(A)= r r<n, бесконечно много решений.

11. ОСЛАУ

Система вида AX=0, где А- матрица размерности m*n, называется ОСЛАУ. ОСЛАУ всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Интерес представляют ОСЛАУ, которые имеют нетривиальные (ненулевые) решения. ОСЛАУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрица меньше числа переменных, т.е. при rang A < n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е₁, е₂,…,е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений.

Если det не равен 0, зн СЛАУ имеет единств решение, и оно тривиальное, если det=0, бесконечно много решений. Общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с₁е₁+с₂е₂+…+с_kе_k, где е₁, е₂,…, е_{k –} любая фундаментальная система решений, с₁, с₂,…,с_k – произвольные числа и k=n-r

12. Понятие об n-мерном векторе. Векторное пространство.

Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ïaï=Öx²+y²(+z²)]. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается `0. Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный -`а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.

n-мерный вектор- упорядоченный набор n чисел, где каждое из n чисел- соответствующие координаты вектора. x=(x₁,x₂,x_i,x_n) Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ (R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.

13.Линейная зависимость векторов.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация при не равных нулю одновременно . Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

14. Размерность и базис векторного пространства.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ (R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ (R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

15. Скалярное произведение векторов, его cв=ва . евклидово пространство.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства :

1. причем

2. переместительный закон

3. распределительный закон

4. сочетательный закон

Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

16. Собственные векторы и собственные числа матрицы. Свойства

17. Прямая на плоскости. Ур-е прямой с угловым коэффициентом. Ур-е прямой, проход через данную точку, в заданном направлении. Ур-е прямой, проход через 2 данные точки.

0 ≤α≤π -ур-ие прямой с угловым коэффиц. Подставим в (1); (3)-ур-ие пр., проход. ч/з задан(.) с зад. угловым коэффициентом

;

, подст. в ур (3) : - ур-ие прямой ч/з 2 данные точки.

18. Угол между прямыми. Общее уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

-условие паралл-ти прямых;

-усл. перпендик-ти прямых

Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как .

Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как