19. Уравнение прямой в отрезках.

Вектор n = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: n*r + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

20 Нормальное уравнение прямой. Нормирующий множитель

Нормальное уравнение прямой

где а - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

21. Расстояние от точки до прямой.

Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как . Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние.

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная.

22. Понятие о кривых 2-го порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

23. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и перепендикулярности двух плоскостей.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.Плоскость с нормальным вектором N={A, B, C}, проходящая через точку M0(x0, y0, z0):

A( x - x0) + B( y - y0) + C( z - z0) = 0.

Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоск прох через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

24. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.\ N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно: .

25. Прямая в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Каноническое уравнение прямой. Угол между прямыми в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M1(x₁, y₁, z₁) и M2(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: m,n,p- координаты направляющего вектора S.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений к параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.

канонич уравнение прямой.

Если угол равен 0, прямая параллельна плоскости. общее уравнение прямой в простр.

26. Предел числовой последовательности.

Числовая послед-сть – это функция натурального аргумента x_n=f(n),где n принадлежит N.

x_1, x_2,…x_n,…-числовая послед.(1), x_n-общий член числовой послед.

Число а назыв. Пределом последовательности, если для любого малого положительного числа ξ > 0 существует такой номер N, зависящий от ξ, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |x_n-а|< ξ.

Свойства числ. последовательности:

1.Если ЧП с общим членом x_n имеет конечный lim, то она назыв. сходящейся.Всякая сход последовательность ограничена, т.е. существует M>0, что все члены этой послед. По модулю не превосходят это число. |x_n |<М

2. Пусть заданы 3 последовательности, x_n, y_n, z_n-общие члены. Причем lim x_n= lim z_n=а и выполняется неравенство: x_n ≤y_n≤z_n, то lim y_n=а.

Послед. α_n назыв. бесконечно малой, если ее предел равен 0, т.е. limα_n=0

Послед. β_n назыв. бескон большой, если ее предел равен ∞.

27. Понятие функции. Способы задания функций, операции над ними. Обратная функция. Элементарные функции, их классификация.

Рассмотрим множество X,сост.из элементов x,и множество Y,сост.из элементов y.Если каждому элементу x из X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент f(x) из Y,то говорят,что на множестве X задана ф-ия y=f(x) со значениями в множестве Y. Называют:y-зависим.переменная,x-незаввисим.пременная(аргумент),X-область определения ф.

Обратной называется ф-ия x=φ(y) по отношению к ф-ии y=f(x). Ф-ию,обратную ф-ии y=f(x),обозначают

Из определения обратной ф-ии следует,что множество значений Y ф-ии f явл. областью определения обратной ф-ии , область определения X ф-ии f – множеством значений обратной ф-ии .

Элементарные ф-ии:

-степенная

-показательная

-логарифмическая

-тригонометрическая

-обратная тригонометрическая

Табличный способ. Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Аналитический способ.Задается посредством формул. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

28. Предел функции. Односторонние пределы.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами.

29. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если , то .

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

30. 1 и 2 замечательные пределы.

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:

где e=2.718281828

Число е часто называют основанием натуральных логарифмов.

31. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует limx → x₀ f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке: limf(x)=limf(x₀)

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Условие непрерывности функции f(x) в точке x0 равносильно условию f(x₀ − 0) = f(x₀ + 0) = f(x₀),

При нарушении условия точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x). В зависимости от вида нарушения условия (3) точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом:

1. Если в точке x₀ существуют односторонние пределы f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) и

f(x₀ − 0) = f(x₀ + 0) ≠ f(x₀),

то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции f(x)

2. Если в точке x₀ существуют односторонние пределы f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) и

f(x₀ − 0) ≠ f(x₀ + 0),

то точка x₀ называется точкой разрыва с конечным скачком функции f(x).

Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов.

3. Если в точке x₀ хотя бы один из односторонних пределов f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) равен бесконечности или не существует, то x₀ называется точкой разрыва 2–го рода.