39. Достаточное условие возрастания (убывания) ф-й.
Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале , если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых x1<x2, верно неравенство .
Функция y=f(x) называется убывающей на интервале , если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых , верно неравенство .
Необходимое условие возрастания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале , то для всех x из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция y=f(x) дифференцируема и убывает на интервале (a,b) , то для всех x из этого интервала.
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b) . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.
40. Экстремумы ф-й.
Точка x = x0 называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство .
Точка x = x0 называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с точкой x0 , выполняется неравенство .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие существования экстремума
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточное условие существования экстремума
Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x0 , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x0 производная меняет знак, то x = x0 — точка:
а) — максимум, если , при
и , при /
б) — минимум, если , при
и , при .
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной:
Находится область определения функции.
Находится производная.
Определяются критические точки.
Выбираются из критических точек те точки, которые принадлежат отрезку.
Считаются значения функции в критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.
Среди полученных значений функции выбираются самое большое и самое маленькое.
41. Выпуклость ф-и вверх (вниз). Необх и дост усл-я перегиба ф-и.
Если график функции имеет касательную в точке x = x0 , и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0 ; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.
График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b) , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y-f(x), то или не существует
Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).
42. Асимптоты графика функции.
Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат. Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой, если выполнено хотя бы одно из условий ; .
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если .
Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
43. Общая схема исследования ф-и и построения графика.
Если требуется построить график функции y=f(x), то надо предварительно исследовать эту функцию:
1.найти область определения D(f)
2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;
3) найти асимптоты;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) определить четность или нечетность , т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;
6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;
7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.
44. Дифференциал ф-и, его геометр смысл. Применение.
Дифф-лом ф-ции называется произведение производной этой ф-ции на приращение аргумента :
Дифф-л аргумента равен приращению аргумента: , поэтому дифф-л ф-ции равен произведению ее производной на дифф-л аргумента: .
Геом. смысл дифф-ла: Т.е. дифф-л ф-ции приближенно равен приращению ф-ции и пропорционален приращению аргумента .
F(x0+ )=f(x0)+ .
45. Определение ф-и нескольких переменных. Частные производных и полный дифференциал ф-и нескольких перем
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z, тогда говорят, что задана ф-я неск-ких переменных Переменные называют независимыми переменными, или аргументами. Z – зависимая переменная, символ f означает закон соответствия, а множество Х – область определения ф-ции.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0,y0)
Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0) - полное приращение.
Частное приращение по х (по у):
DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0)
DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0)
Частная производная ф-ция: б) dxZ=Zx`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Zy`*Dy=¶Z/¶y*dy
Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy
dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
46. Экстремумы функций нескольких переменных. Необход и лост усл-е экстремума. Ф-и 2-х перем.
Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y)
Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:
Если Z=f(x1,x2,...xn), то ¶Z/¶xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие.
Достаточный признак:
AC-B2
где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0),
1) если D>0, то М0 - точка экстремума;
если А<0 или С<0, то М0 - точка max;
если А>0 или С>0, то М0 - точка min.
2) если D<0, то экстремума нет
3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.