- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .
Определение 4.3. Производной от функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при , т.е.
.
Если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:
, (4.1)
где направляющие косинусы вектора .
В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:
, (4.2)
где .
Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора . Если , то функция возрастает в направлении , если , то функция убывает в направлении .
Градиент
В каждой точке области , в которой задана скалярная функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).
Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
. (4.3)
Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .
Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.
,
где угол между и направлением .Свойства :1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, когда , т.е. при ; это наибольшее значение производной равно .
Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. наибольшая скорость изменения функции в точке .
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.
4) .
5) , где .
6) и др.
Пример 4.2. Дана функция . Найти:
1) производную в точке по направлению к точке ;
2) наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Решение. 1) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :
;
.
Находим частные производные и значения частных производных в точке :
;
;
.
Тогда по формуле (4.1) получаем:
.
Так как , то в данном направлении функция убывает.
2) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :
.
Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :
.
23.Понятие векторного поля. Векторные (силовые) линии. Векторная трубка.Определение 4.5. Если каждой точке области соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.
Вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , т.е. .
Вектор можно представить, разложив его по ортам координатных осей, в виде:
,
где проекции вектора на оси координат, а также скалярные функции, которые непрерывны со своими частными производными.
Простейшими геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии.
Определение 4.6. Векторной (силовой) линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора
Определение 4.7. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинается с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений
. (4.4)
Пример 4.3. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку .
Решение. Согласно формуле (4.4) получаем систему дифференциальных уравнений
.
Решаем первое уравнение:
.
или, в параметрическом виде: .
Решаем второе уравнение:
.
Так как векторная линия должна проходить через точку , то легко находим, что постоянные интегрирования .
Уравнения векторной линии данного векторного поля имеют вид: , это винтовая линия.
Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля (или ), называется полем градиента. Векторные линии (или ) это кривые, вдоль которых функция (или ) максимально возрастает (убывает). Эти линии всегда ортогональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля (или ).
Дифференциальные уравнения для определения векторных линий имеют вид:
.