- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
II способ
Воспользуемся формулой (3.6) и запишем данный интеграл в виде
.
Далее используем формулы (3.7) – (3.9). Поскольку нормаль образует с осью тупой угол, а с осями и острые, то интегралы и берем со знаком «+», а интеграл со знаком «». Тогда получаем
.
III способ
Воспользуемся формулой (3.10) и найдем интеграл по замкнутой поверхности, состоящей в данном примере из четырех поверхностей:
,
где искомый интеграл
Итак, , и . Тогда
,
где объем пирамиды, ограниченной четырьмя поверхностями.
Далее получаем
.
Знаки для поверхностных интегралов выбирается согласно тому, какой угол образуют нормальные векторы к каждой рассматриваемой плоскости и соответствующей координатной осью.
Тогда
.
,
21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.
Если каждой точке этой области определено число , говорят, что в области определено (задано) скалярное поле или функция точки. Иначе можно сказать, что скалярное поле – это скалярная функция вместе с ее областью определения.
Если каждой точке области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.
Если функция или не зависят от времени, то скалярное или векторное поле называется стационарным (или установившимся). Поле, которое меняется с течением времени (например, меняется скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).
4.1. Скалярное поле
Определение 4.1. Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
Если область трехмерного пространства, то скалярное поле можно рассматривать как функцию трех переменных координат точки , т.е.
.
Если скалярная функция зависит только от двух переменных и , то соответствующее скалярное поле называют плоским.
В дальнейшем будем предполагать, что скалярная функция определяющая скалярное поле, непрерывна вместе со своими частными производными.
Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.
Определение 4.2. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
.
В случае плоского поля равенство представляет собой уравнение линии уровня поля – линии на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение.
Пусть скалярное поле задано
функцией , где значения
откладываются по оси . Линиями
уровня на плоскости будут проек-
ции линий, которые получаются в пере-
сечении поверхности с плос-
костями (см. рисунок).
Линии уровня применяются в
математике при исследовании поверх-
ностей методом сечений.
Пример 4.1. Определить линии
уровня функции .
Решение.
Линиями уровня будут линии с уравнениями . Это окружности на плоскости с радиусом (см. рисунок).
В частности, при получаем окружность .
Основными понятиями скалярного поля являются «производная по направлению» и «градиент».