- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
4 Двойной интеграл в криволинейных координатах.
При вычислении определенного интеграла важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий получаем
.
Обычно функция монотонна. Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками промежутка изменения переменной и точками промежутка изменения переменной . Делая замену по формуле , необходимо заменить на и вместо старых пределов и по переменной взять им соответствующие новые пределы и по переменной .
Для упрощенного вычисления двойного интеграла также применяется метод подстановки. Но правило замены переменной в двойном интеграле значительно сложнее, чем в определенном интеграле. Приведем только окончательную формулу замены переменных в двойном интеграле и разъясним ее на примере преобразования к полярным координатам.
Определим преобразование независимых переменных и как
и .
Если функции и имеют в некоторой области плоскости непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
,
а функция непрерывна в области , то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:
. (1.4)
Сами новые переменные и называются криволинейными координатами. Различные системы криволинейных координат играют важную роль в математике и ее приложениях.
Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби (1804 – 1851) – немецкий математик).
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат и полярными координатами и .
В качестве переменных и возьмем полярные координаты и . Они связаны с декартовыми координатами формулами , .
Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как
Формула замены переменных (1.4) принимает вид:
, (1.5)
где область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.
пересекает ее границу не более чем в двух точках. Тогда правую часть формулы (1.5) можно записать в виде повторного интеграла
. (1.6)
Внутренний интеграл берется при постоянном . Формула (1.6) применяется, если полюс полярной системы координат находится вне области . В отдельных случаях формула (1.6) упрощается.
Пример 1.2. Вычислить , если область круг .
Решение. Если область круг или его часть, то интеграл проще вычислить в полярных координатах. Вводим замену: , . Тогда , . Область так же запишем в полярных координатах: или . Поскольку полюс находится внутри области , то , , и . Согласно формуле (1.6) имеем .
5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
Объем тела
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла, объем цилиндрического тела находится по формуле:
,
где уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Согласно свойству 6 двойного интеграла, если , то цилиндрическое тело «превращается» в прямой цилиндр с высотой, равной 1. Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулы:
1. для вычисления в декартовой системе координат: ;
2. для вычисления в полярной системе координат: .
Пример 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и .
Решение. Построим в декартовой системе координат фигуру .
, а прямая .
Согласно формуле (1.6) имеем
.
,
Пример 1.4. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного данными поверхностями: .
Решение. Данное тело сверху ограничено поверхностью параболическим цилиндром, снизу плоскостью , с боков плоскостями и . Чтобы найти объем тела, изобразим область в плоскости .
6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.
Вычисление площади плоской фигурыПлощадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105)Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством , то из (105) имеем . (106)Если область D определена в полярных координатах неравенством , , то . (107)
Вычисление площади пространственных поверхностейЕсли гладкая однозначная поверхность задана уравнением z = f (x,y),то площадь этой поверхности выражается формулой , (108)где D есть проекция данной поверхности на плоскость хОу.Если поверхность задана уравнением x = f (y, z),то для вычисления площади имеем аналогичную формулу . (109)Однако здесь D есть проекция поверхности на плоскость yOz.Аналогично, если поверхность задана уравнением y = f (x, z), , (110)где D – проекция поверхности на плоскость xOz.
,