- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
7.Механические приложения двойного интеграла.
Масса плоской фигуры
Согласно физическому смыслу двойного интеграла, масса плоской пластины находится по формуле:
,
где плотность этой пластины.
Статистические моменты плоской фигуры
Статистические моменты плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:
;
.
Координаты центра масс
Координаты плоской фигуры вычисляются по следующим формулам:
;
.
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т.е. .
Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:
;
.
Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат вычисляется по следующей формуле:
.
Пример 1.5. Дана неоднородная пластина , ограниченная линиями , , с поверхностной плотностью . Вычислить:
1) массу плоской пластины;
2) статистические моменты и пластины относительно осей координат;
3) координаты центра масс пластины;
4) моменты инерции относительно начало координат и осей координат .
8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.
Рассмотрим в пространстве замкнутую область . Пусть в области задана непрерывная функция .
Схема получения тройного интеграла
1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
2) Объем «элементарной области» обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .
3) Возьмем произвольную точку .
4) Находим .
5) Составляем интегральную сумму
.
6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что .
.
Предел интегральной суммы, когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю, называется тройным интегралом от на замкнутой областью .
Таким образом, тройным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:
. (1.7)
интегрируемая функция в области ;
область интегрирования;
, и переменные интегрирования;
или элемент объема.
Основные свойства тройного интеграла
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.
Если в области f(xyz) =_, То , где v- объём области V
В случае, когда подынтегральная функция f(xyz) задаёт плотность δ(x,y,z) тела, занимающего область V, тройной интеграл выражает массу этого тела:
m= δ(x,y,z)dV
9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла водится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.
Для правильной области справедливы следующие неравенства:
, , .
Тогда тройной интеграл в декартовых координатах вычисляется по следующей формуле:
. (1.8)
Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае простейшей правильной области вначале интегрируют функцию по одной из переменных (например, ) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной (например, ) при любом постоянном значении третьей переменной в и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, ) в максимальном диапазоне ее изменения в . Надо отметить, что порядок интегрирования в формуле (1.8), при определенных условиях, может быть другим.
Если область более сложная, чем рассматриваемая, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (1.8).
Пример 1.6. Вычислить тройной интеграл
,
где область ограничена поверхностями: .
Решение. По заданным поверхностям строим область интегрирования: плоскости, эллиптический параболоид.
Тогда
.
,