24. Циркуляция и ротор векторного поля.

4.5. Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором

.

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую и выберем на ней определенное направление. Обозначим через вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги, т.е.

,

а .

Определение 4.10. Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора

на вектор , касательной к контуру, т.е.

. (4.11)

Циркуляцию вектора можно находить по другой формуле

. (4.12)

Циркуляция , имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль .Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный – в противном случае.

Пример 4.7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами , , .

Р

ешение. Согласно формуле (4.12), имеем:

.

На отрезке . Следовательно,

.

На отрезке . →

На отрезке . →

.

Тогда .

4.6. Ротор поля. Формула Стокса

Определение 4.11. Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, который обозначается и определяется формулой

. (4.13)

Формулу (4.13) можно записать с помощью символического определителя, который удобный для запоминания:

.

Отметим некоторые свойства ротора:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. ротор суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Используя понятие ротора и циркуляции векторного поля, запишем известную в математическом анализе формулу Стокса:

.

(4.14)

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Число

называется плотностью циркуляции векторного поля в точке в направлении вектора . Плотность циркуляции достигает максимума в направлении и равна .

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.

Пример 4.8. Найти скалярного поля .

Решение. Находим градиент скалярного поля . Частные производные первого порядка соответственно равны:

; ; .

Находим ротор градиента скалярного поля, используя символическую запись формулы (4.13):

.



26. Оператор Гамильтона и некоторые его применения.

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).

Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:

.

Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:

1. .

2. .

3. .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как  есть скаляр.

Дифференциальный оператор

также называется оператором Гамильтона.

Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1. .

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

,

которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.

5. .