- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.
Теорема 5.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (5.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел
.
Тогда:
при ряд сходится;
при ряд расходится.
При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.
Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .
Пример 5.8. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим признак Даламбера:
, .
Находим
.
Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Пример 5.9. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим признак Даламбера:
, .
Находим
.
Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.
33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости числового ряда с положительными членами. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.
Теорема 5.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (5.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел
.
Тогда:
при ряд сходится;
при ряд расходится.
При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.
Пример 5.10. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Так как
,
то применим радикальный признак Коши к ряду .
.
Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.
30.Интегральный признак Коши.
Теорема 5.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд
,
члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :
,
и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.
Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
Пример 5.11. Исследовать на сходимость ряд
, (5.10)
где действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.
Решение. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке , при и . Воспользуемся интегральным признаком Коши и исследуем на сходимость несобственный интеграл .
При имеем
.
При получаем гармонический ряд , который расходится.
Таким образом, при ряд Дирихле расходится, а при ряд Дирихле сходится.
Пример 5.12. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Находим
.
Поскольку несобственный интеграл расходится, то и исходный ряд расходится.
Пример 5.13. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке .
Находим
.
Поскольку несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится.