- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
Вычисление КРИ-I может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства формулы вычисления КРИ-I в случаях, если кривая задана явным образом, параметрически и в полярных координатах.
Явное представление кривой
Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно дифференцируемой на функцией , где и соответственно абсциссы точек и , то
. (2.3)
Параметрическое представление кривой
Если кривая задана параметрически уравнениями , где и непрерывно дифференцируемые функции параметра , причем точке соответствует значение , а точке значение , то
. (2.4)
В случае если гладкая кривая задана в пространстве параметрическими уравнениями , то
.
Полярное представление кривой
Если плоская кривая задана уравнением , причем функция и ее производная непрерывны, то имеет место следующая формула
. (2.5)
Пример 2.1. Вычислить интеграл , где отрезок прямой, заключенный между точками и .
Решение. Составляем уравнение по двум точкам. Получаем .
Находим
.
Следовательно,
.
Пример 2.2. Вычислить интеграл , где лепесток лемнискаты расположенный в первом координатном углу.
Решение. Находим .
.
16. Приложения кри-I кри-2.
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.
Длина кривой
Длина кривой , плоской или пространственной линии, вычисляется по следующей формуле
.
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельная оси (см. рисунок), то площадь поверхности, заданной функцией , находится по формуле:
Масса кривой
Если плотность материальной кривой (провод, цепь, трос, …), то ее масса вычисляется по формуле:
.
Координаты центра масс
Координаты центра масс материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:
; ; .
Моменты инерции
Моменты инерции относительно начала координат , осей координат и , и координатных плоскостей и материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:
;
, , ;
, , .
Пример 2.3. Вычислить массу и координаты центра масс плоской материальной дуги , плотность которой .
Решение. Согласно формуле (2.3) и формуле массы кривой, для случая плоской дуги имеем:
.
Согласно формулам координат центра масс, получаем:
.
.
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле
,
при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.
Работа переменной силы
Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле
.
Пример 2.6. Найти работу силы вдоль кривой от точки до точки .
Решение. По формуле работы переменной силы находим
.