- •Определение и свойства двойного интреграла.
- •3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •5 Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7.Механические приложения двойного интеграла.
- •8 Вычисление и свойство тройного интеграла.
- •1) Разбиваем область на «элементарных областей» .
- •3) Возьмем произвольную точку .
- •5) Составляем интегральную сумму
- •Основные свойства тройного интеграла
- •9.Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
- •10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле
- •11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)
- •10. Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой.
- •2.2. Вычисления криволинейного интеграла I рода
- •16. Приложения кри-I кри-2.
- •14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •Криволинейный интеграл II рода (кри-II)
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •II способ
- •17.Поверхностный интеграл I рода
- •3.1. Поверхностный интеграл I рода
- •3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.
- •3.3. Поверхностный интеграл II рода
- •II способ
- •III способ
- •21. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •4.1. Скалярное поле
- •22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению
- •Градиент
- •25. Поток и дивергенция векторного поля.
- •24. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •4.5. Циркуляция поля
- •4.6. Ротор поля. Формула Стокса
- •27. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля.
- •Потенциальное векторное поле
- •Гармоническое векторное поле
- •28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
- •5.1. Основные понятия
- •29. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.
- •5.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •31. Признаки сравнения рядов. Признаки сравнения рядов.
- •32. Признак ДаламбераПризнак Даламбера
- •33. Радикальный признак Коши. Радикальный признак Коши
- •30.Интегральный признак Коши.
- •35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •34. Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Абсолютная и условная сходимости рядов
- •36. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функциональног
- •7.1. Функциональные ряды
- •37. Степенной ряд. Сформулировать и доказать теорему Абеля.
- •38 Свойства степенных рядов Свойства степенных рядов
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
- •Разложение функций в степенной ряд
28.Понятие числового ряда и его суммы.Сходящиеся и расходящиеся ряды.Свойства
5.1. Основные понятия
Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.
Определение 5.1. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида
, (5.1)
где члены ряда (действительные или комплексные числа), число общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера можно записать соответствующий член ряда: .
Если формула дана, то можно сразу написать любой член ряда. Например, если , то ряд имеет вид: . Если ( ), то ряд имеет вид: .
Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть , а рекуррентная формула такова: . Последовательно находим ; и т.д. Таким образом, получаем ряд
.
Определение 5.2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда:
.
Рассмотрим частичные суммы
,
,
………………….
Если существует конечный предел , то этот предел называют суммой ряда (5.1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует или , то ряд (5.1) расходится и суммы не имеет. Например, ряд сходится и его сумма равна 0; ряд расходится, так как при ; ряд расходится, так как последовательность частичных сумм не имеет предела.
Пример 5.1. Дан ряд . Установить сходимость этого ряда и найти его сумму.
Решение. Запишем -ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
.
Поскольку
,
то данный ряд сходится и его сумма .
Пример 5.2. Исследовать сходимость ряда
, (5.2)
который называется геометрической прогрессией.
Решение. Сумма первых членов прогрессии находится по формуле
или
.
1) Если , то при , следовательно
.
Значит, в случае ряд (5.2) сходится и его сумма .
2) Если , то при . Поэтому . А значит, в случае ряд (5.2) расходится.
3) Если , то ряд (5.2) имеет следующий вид: . В этом случае , следовательно , т.е ряд расходится.
4) Если , то ряд (5.2) имеет вид: . В этом случае
.
Следовательно, предела не имеет – ряд расходится.
Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при .
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов (без доказательства).
Если ряд (5.1) сходится и его сумма равна , то ряд
, (5.3)
где произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (5.1) расходится и , то и ряд (5.3) расходится.
Если ряды
и
сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряды
(5.4)
и
(5.5)
также сходятся и их суммы соответственно равны и .
Если к ряду (5.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (5.1) сходится или расходится одновременно.
Рассмотрим сходящийся ряд (5.1)
.
Разность между суммой ряда и его -й частичной суммой называется -м остатком ряда. Остаток ряда есть в свою очередь сумма бесконечного ряда. Обозначим остаток ряда . Тогда имеем
. (5.6)
Если ряд (5.1) сходится, то .