10 Цилиндрические координаты.Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Замена переменной в тройном интеграле

Замена:При вычислении тройного интеграла, как и для двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершается подстановка , и . Если эти функции имеют в некоторой области пространства непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

,

то справедлива формула замены переменной в тройном интеграле:

(1.9)

Здесь  определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства)

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: , , , где .

Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

. (1.10)

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по , по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

11.Сферические координаты. Тройной интеграл сферических координатах

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.

Сферическими координатами точки пространства называется тройка чисел , где  длина радиус-вектора проекции точки ,  угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость и осью ,  угол отклонения радиус-вектора от оси (см. рис.).

Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

. (1.11)

12.Механические приложения тройного интеграла.

Некоторые приложения тройного интеграла

Объем тела

V= -в декартовой

V= ρdρ d𝜑dz -в цилиндрической

V= ρ²sinθdρd𝜑dθ –в сферической

Масса тела при заданной объёмной плотности μ(x,y,z)

m= μ(x,y,z)dxdydz

Статистические моменты

M_xy, M_xz, M_yz –относительно координатных плоскостей

M_xy= zμ(xyz)dxdydz M_xz= yμ(xyz)dxdydz M_yz= xμ(xyz)dxdydz

Координаты центра масс

Моменты инерции тела

13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.

2.1. Криволинейный интеграл I рода (кри-I)

Пусть в пространстве ( ) задана гладкая дуга кривой , во всех точках которой определена непрерывная функция .

Если при , когда , существует конечный предел интегральной суммы , то его называют криволинейным интегралом первого рода (КРИ-I) или криволинейным интегралом по длине дуги от функции , и обозначается .

Таким образом, по определению

. (2.1)

Если кривая лежит в плоскости и вдоль этой кривой задана непрерывная функция , то

. (2.2)

Надо отметить, если функция непрерывная в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Основные свойства КРИ-I

1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2. , где .

3. .

4. , если путь интегрирования разбить на части и такие, что , и имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой выполняется неравенство , то

.

6. Если , то , где  длина кривой (геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода).

7. (Теорема о среднем) Если функция непрерывная на кривой , то на этой кривой найдется точка , что .