1. Определение и свойства двойного интреграла.

Рассмотрим в плоскости замкнутую область . Область называется замкнутой, если она ограничена замкнутой линией, и точки, лежащие на границе, считаются принадлежащими области .

Пусть в области задана непрерывная функция .

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Площадь области обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим , что равно объему тела (призма), площадь основания которого , а высота равна .

5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что . Если предел существует и не зависит от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области .

.

Таким образом, двойным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (1.1)

 интегрируемая функция в области ;  область интегрирования; и  переменные интегрирования dx dy или dS  элемент площади.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

2. .

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где  линия, разделяющая и (см. рисунок), то

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

6. Если , , то , где  площадь области интегрирования .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и  соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

2Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что , где  площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и  уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

.

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

. (1.2)

Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и ( ), кривыми и , причем для всех , т.е. область  правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем

. (1.3)

Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.

Замечания.

1. Формулы (1.2) и (1.3) справедливы и в случае, когда , .

2. Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как и по формуле (1.2), так и по формуле (1.3).

3. Если область не является правильной ни «по », ни «по », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси или оси .

4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример 1.1. Вычислить , если область ограничена линиями: .

Решение. I способ.

II способ. Построенная область является правильной в направлении оси . Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой (1.3):

.