Эллипс, свойства эллипса
Эллипсом называется
геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух
фиксированных точек плоскости
и
есть величина постоянная и равная
(
).
и
-фокусы эллипса.
каноническим уравнением эллипса
–точка эллипса.
и
.
По определению эллипса
,⇒
.
,⇒
,
⇒
.
.
,⇒
,
⇒
,
⇒
.
Так как по определению
,
то
.
Следовательно,
,
.
Разделим
обе части этого равенства на
и получим:
.
Свойства:
1)что
эллипс лежит внутри прямоугольника,
ограниченного прямыми
,
.
2)
Эллипс имеет центр симметрии (начало
координат) и две оси симметрии (оси
и
).Центр
симметрии эллипса называют центром
эллипса. Ось симметрии эллипса,
проходящую через фокусы (ось
)
называют большой (или фокальной)
осью симметрии, а вторую ось (ось
)
– малой осью
3) Величина
,
равная отношению фокусного расстояния
эллипса к его большой оси, т.е.
,называется
эксцентриситетом эллипса.
Так как
,
то
.
Величина
характеризует форму эллипса. чем
больше
,
тем больше вытянут эллипс вдоль
действительной оси.
Гиперболой
называется геометрическое
место точек плоскости, модуль разности
расстояний от которых до двух фиксированных
точек плоскости
и
есть величина постоянная и равная
(
).
и
называют фокусами
гиперболы,
и
каноническим уравнением гиперболы
– текущая точка
гиперболы.
По определению гиперболы
,⇒
,⇒
,
,
⇒
,
⇒
.
.
,⇒
,⇒
,⇒
.
По
определению
,
то
.
=>
,
.
Разделим обе части
этого равенства на
и окончательно получим:
.
Свойства:
1)Гипербола
имеет центр симметрии (начало координат)
и две оси симметрии (оси
и
).
2)
Величина
,
равная отношению фокусного расстояния
гиперболы к ее действительной оси,
т.е.
,
называется
эксцентриситетом гиперболы, чем
больше
,
тем больше отношение
,
т.е. тем «шире» гипербола.
Параболой
называется геометрическое место точек
плоскости, расстояние от которых до
фиксированной прямой
и до фиксированной точки
(не лежащей на прямой
)
одинаково.
называют фокусом параболы, прямую
– директрисой.
каноническое уравнение параболы.
– расстояние от
до
.
Выберем декартову прямоугольную систему
координат так, чтобы директриса параболы
была перпендикулярна оси
,
фокус
лежал на положительной части
и расстояние от начала координат до
фокуса и до директрисы было одинаковым.
В такой системе координат
и
:
.
– текущая точка параболы. По определению
параболы
,т.е.
,⇒
,
⇒
Свойства:
1)парабола
лежит в полуплоскости
(т.к.
и
).
2)
Парабола имеет ось симметрии (ось
).
Поверхности второго порядка
поверхностью
второго порядка называется геометрическое
место точек в пространстве, декартовы
координаты которых удовлетворяют
уравнению
,
где
– многочлен степени
.
Уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
.
Поверхности второго порядка делятся на две группы: 1) вырожденные и 2) невырожденные.
Вырожденные поверхности второго порядка это точки и плоскости, которые заданы уравнениями второго порядка. Например,
а) уравнение
задает точку
;
б) уравнение
задает плоскость
.
в) уравнение
определяет пару параллельных плоскостей.
Также как и для кривых второго порядка, наиболее простое уравнение поверхность второго порядка будет иметь в декартовой системе координат, которая привязана к осям симметрии поверхности. Такие системы координат называют каноническими системами координат поверхности. В зависимости от вида уравнения в канонической системе координат, невырожденные поверхности второго порядка разделяют на пять типов. Рассмотрим эти типы.
Эллипсоидом
называется
геометрическое место точек пространства,
координаты которых в некоторой декартовой
системе координат удовлетворяют
уравнению
,
Частным случаем эллипсоида является
сфера
Гиперболоид
определяется
уравнением
Однополостной
гиперболоид определяется уравнением:
,
Двуполостной
гиперболоид определяется уравнением
,
Конус
определяется уравнением
.
Параболоиды:
Эллиптическим
параболоидом определяется уравнением
Гиперболическим
параболоидом определяется уравнением
,
Цилиндрической поверхность (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей).
Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические. Характерным признаком канонического уравнения цилиндра является то, что в уравнении отсутствует одна переменная, и образующие цилиндра параллельны той оси, координаты которой нет в уравнении.