Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
Векторы
,
,
,
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда хотя бы один из них линейно
выражается через оставшиеся.
1) Необходимость.
Пусть векторы
,
,
,
– линейно зависимы. Тогда по определению
существуют числа
,
,
,
,
не все равные нулю и такие, что
.
Пусть, например,
.
Тогда
,
⇒
.
2) Достаточность.
Пусть один из векторов
,
,
,
линейно выражается через оставшиеся.
Например, пусть
,
⇒
.
Следовательно,
векторы
,
,
,
– линейно зависимы.
Понятия базиса и размерности линейного пространства
Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.
Если в линейном
пространстве
существует базис из
векторов, то пространство называют
конечномерным, а
называют размерностью линейного
пространства (пишут:
).
Если в линейном
пространстве
для любого натурального
можно найти линейно независимую систему
векторов, то пространство называют
бесконечномерным (пишут:
).
ТЕОРЕМА. (Связь между координатами вектора в разных базисах).
Пусть
,
,
,
и
,
,
,
– два базиса линейного пространства
.
Причем имеют место равенства:
Если вектор
имеет в базисе
,
,
,
координаты
,
в базисе
,
,
,
– координаты
,
то справедливо равенство
,
где
,
,
.
Матрицу
называют матрицей перехода от базиса
,
,
,
к базису
,
,
,
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию 
.
Расписывая
векторы
,
,
,
по базису
,
,
,
,
получим:
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(1)
Так
как по условию
,
то из (1) получаем:
или
в матричном виде 
.
Понятие линейного оператора
Пусть
и
– линейные пространства над
(где
= ℝ
или
= ℂ
).Пусть
каждому вектору
ставится в соответствие однозначно
определенный вектор
,
т.е. задана функция
с областью определения
и областью значения
.
Такую функцию принято называть оператором
(преобразованием),
действующим
из
в
.
Вектор
называется образом
вектора
и обозначают
,
а
называется прообразом
вектора
.
Оператор, действующий из
в
,
называют оператором
пространства
.
Оператор
называется линейным,
если для любых
и любого
выполнены следующие условия:
1)
,
2)
Матрица линейного оператора
Так
как
– оператор пространства
,
т.е. векторы
,
то их можно разложить по базису
:
Составим матрицу
из коэффициентов разложения векторов
по базису
:
.
Эту
матрицу называют матрицей
линейного оператора
в базисе
(относительно базиса
).
Уравнение прямой на плоскости
– произвольная
точка.
и
– радиус-векторы точек
и
.
Рассмотрим векторы
и
.
=>
, (23)
или,
.
Этому уравнению
удовлетворяют координаты любой точки
прямой и не удовлетворяют координаты
других точек плоскости. Данное
уравнение называют уравнениями
прямой, проходящей через точку
Выполним
преобразования
.
получим общее
уравнение прямой на плоскости:
Вектор
перпендикулярен данной прямой.
Параметрическое уравнение.
Дана
и
.
Составим уравнение прямой, проходящей
через М0
параллельно вектору l.
Вектор, параллельный
прямой, называют направляющим
вектором
этой прямой.
– текущая точка
прямой,
и
– радиус-векторы точек
и
.
Рассмотрим
и
.
По условию задачи они параллельны.
Следовательно, существует такое число
,
что 
,⇒
, (27)
или 
Данной системе
удовлетворяют координаты любой точки
прямой при некотором значении
и не будут удовлетворять координаты
других точек плоскости.
- параметр.
Полученную систему уравнений называют параметрическим уравнением прямой.
Каноническое уравнение прямой
Из параметрического уравнения прямой
и
,
,
– координаты
некоторой точки на прямой,
– координаты направляющего вектора
прямой.
Данное уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Даны две точки
и
.
Тогда
является ее направляющим и каноническое
уравнение этой прямой будет иметь
вид
.Данное
уравнение наз. уравнением прямой проход.
ч/з 2 точки. из канонич. получ. параметрич.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
М
Если на плоскости даны две прямые, то
они либо параллельны, либо пересекаются.
Если прямые параллельны, то их нормальные
векторы
и
коллинеарные, а углы наклона к оси
(
и
)
– равные.
Пусть
прямые
и
заданы общими уравнениями
и
.
Тогда
и
.
Так как коллинеарные векторы имеют
пропорциональные координаты, то прямые
и
параллельны тогда и только тогда, когда
в их общих уравнениях коэффициенты при
соответствующих неизвестных
пропорциональны, т.е.
.
Пусть прямые
и
заданы уравнениями с угловым коэффициентом
и
соответственно. Так как
и
,
то прямые
и
параллельны тогда и только тогда, когда
их угловые коэффициенты пропорциональны,
т.е.
.
При пересечение
прямых на плоскости образуется две пары
вертикальных углов. 
Один из углов (
),
образуемых прямыми
и
,
равен углу между их нормальными векторами
и
.
Следовательно, если прямые
и
заданы общими уравнениями
и
соответственно, то
,
и
Второй угол
и, следовательно,
.
,
или 
,
+ если угол острый, - если угол тупой.
Если
и
перпендикулярны, то
и
.
Из формулы получаем
–
критерий перпендикулярности прямых,
заданных общими уравнениями.
Прямые с угловым коэффициентом
прямые
и
заданы уравнениями с угловым коэффициентом
и
.
Острый угол между прямыми будет равен
.
,⇒
.
Так как тупой угол
между прямыми
,
то
.
,
+ для острого угла, - для тупого.
если
, то
и
не существует. Но это означает, что
знаменатель дроби в обращается в ноль,
т.е.
,⇒
–
критерий
перпендикулярности прямых, имеющий
угловые коэффициенты
и
.
Уравнение плоскости
Составим уравнение
плоскости, проходящей через точку
,
перпендикулярно вектору
.
– текущая точка
плоскости,
и
–
радиус-векторы точек
и
соответственно.
.
=>
,или,
. (37)
Данное уравнение
называют уравнением
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
.
преобразуем данное
уравнение
.
=
и получим общее уравнение плоскости
Если в уравнении
все коэффициенты
,
,
и
отличны от нуля, то уравнение называют
полным;
если хотя бы один из коэффициентов равен
нулю – уравнение называют неполным.