Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
|
1) Горизонтальные плоскости |
|
|
|
|
2) Фронтальные плоскости |
|
|
|
|
3) Профильные плоскости |
|
|
|
У эллипсоида в любом сечении плоскостями, параллельными координатным, получаются эллипсы.
Гипперболоид: В двух сечениях плоскостями, параллельными координатным, получаются гиперболы, а в третьем – либо эллипс либо окружность.
Сечения конуса плоскостями z=const представляют собой эллипсы(в случае a=b окружности) сечение конуса координатными плоскостями XOZ и YOZ дают по паре пересекающихся прямых проходящих через начало координат (вершину конуса)
Параболоид: в сечениях плоскостями, параллельными координатным XOZ и YOZ будут параболы с осью симметрии OZ, и ветвями, направленными вверх или вниз в зависимости от знака Z. В сечениях плоскостями Z=const получаются эллипсы (либо окружности, если a=b)
Цилиндр:
1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. 1
2. Линейные и нелинейные операции над матрицами 2
Умножение матриц. Свойства произведения матриц 2
3. Перестановка чисел, число инверсий, определитель 3
4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг 6
метод окаймляющих миноров: 9
Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований. 10
Теорема о базисном миноре. 10
ТЕОРЕМА Кронекера – Капелли. Система линейных уравнений (5) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. . 11
Критерий единственности решения. Система линейных уравнений (5) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е. . 11
Элементарными преобразованиями СЛУ называются преобразования следующего вида: 11
Метод Гаусса 11
Критерий существования обратной матрицы 15
Матричный метод решения системы 17
Метод Крамера 17
СЛОУ – называется однородной, если все свободные члены равны нулю: 18
Фундаментальной системой решений (ФСР), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами: 19
Определение проекции вектора на ось: 19
Направляющие косинусы в декартовой системе координат 20
ТЕОРЕМА О сведении линейных операций над векторами к таким же операциям над их одноименными координатами. 20
Линейная зависимость и независимость свободных векторов: 21
Критерий линейно зависимости свободных векторов 22
Определение базиса: 22
Теорема о базисе 23
Скалярное произведение векторов 25
Критерий ортогональности (перпендикулярности)векторов 26
Скалярное произведение в декартовой системе координат: 26
Определение правой тройки векторов 27
Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 27
4.Ненулевые векторы и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (критерий коллинеарности векторов). 28
5.Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (геометрический смысл векторного произведения). 28
7.Если вектор это сила, приложенная к точке , то векторное произведение представляет собой момент силы относительно точки (механический смысл векторного произведения). 28
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. . Если хотя бы один из векторов , или нулевой, то их смешанное произведение равно нулю. 29
4. Ненулевые векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (критерий компланарности векторов). 29
7. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов , , равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (геометрический смысл смешанного произведения). 31
(Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат) 32
Линейное пространство: Пусть – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные (комплексные) числа. Договоримся элементы из обозначать малыми латинскими буквами, а числа – малыми греческими буквами. Тогда Множество называется линейным пространством над ℝ(ℂ) если для любых элементов и для любых чисел ℝ(ℂ) выполняются условия: 33
Определение подпространства, критерии 35
ТЕОРЕМА (критерий подпространства). Пусть – линейное пространство над ℝ(ℂ), – непустое подмножество в . является подпространством линейного пространства тогда и только тогда, когда для любых элементов и любого ℝ выполняются условия: 1) ; 2) . 35
Определение линейной зависимости и независимости 35
Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства 36
ТЕОРЕМА. (Связь между координатами вектора в разных базисах). 38
Понятие линейного оператора 40
Матрица линейного оператора 40
Уравнение прямой на плоскости 42
Параметрическое уравнение. 42
Каноническое уравнение прямой 43
Уравнение прямой, проходящей через две точки 43
Взаимное расположение прямых на плоскости. 43
Прямые с угловым коэффициентом 46
Уравнение плоскости 47
Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам 48
Уравнение плоскости проходящей через 3 заданные точки 48
Прямая линия в пространстве 49
Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору 49
каноническое уравнение прямой в пространстве 50
Канонические и параметрические уравнение прямой через 2 точки 50
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 51
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость . 52
Эллипс, свойства эллипса 53
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки (не лежащей на прямой ) одинаково. называют фокусом параболы, прямую – директрисой. 57
Поверхности второго порядка 58
Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению, Частным случаем эллипсоида является сфера 59
Гиперболоид определяется уравнением 59
Метод параллельных сечений исследования формы поверхности. 60