- •1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
- •2. Линейные и нелинейные операции над матрицами
- •Умножение матриц. Свойства произведения матриц
- •3. Перестановка чисел, число инверсий, определитель
- •4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг
- •Метод окаймляющих миноров:
- •Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Фундаментальной системой решений (фср), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
- •Определение проекции вектора на ось:
- •Направляющие косинусы в декартовой системе координат
- •Линейная зависимость и независимость свободных векторов:
- •Критерий линейно зависимости свободных векторов
- •Определение базиса:
- •Теорема о базисе
- •Скалярное произведение векторов
- •Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
- •Параметрическое уравнение.
- •Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
- •Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
- •Каноническое уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
- •Эллипс, свойства эллипса
- •Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
Линейная зависимость и независимость свободных векторов:
Векторы , , , называются линейно зависимыми, если существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация равна нулевому элементу линейного пространства .
Если же равенство возможно только при условии , то векторы , , , называют линейно независимыми.
Критерий линейно зависимости свободных векторов
Векторы ,,, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Необходимость. Пусть векторы , , , – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что . Пусть, например, . Тогда
, ⇒ .
2) Достаточность. Пусть один из векторов , , , линейно выражается через оставшиеся. Например, пусть
. ⇒ .
Следовательно, векторы , , , – линейно зависимы
Определение базиса:
Векторы , , , образуют базис в линейном пространстве если выполняются два условия:
-
, , , – линейно независимы;
-
, , , , – линейно зависимы для любого вектора из .
Теорема о базисе
Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть , , , – базис линейного пространства и – произвольный вектор из . Тогда, по определению базиса, , , , – линейно независимы и , , , , – линейно зависимы. Следовательно, существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация ; ≠ 0.
Если , то и среди коэффициенты , , , есть ненулевые. => , , , - линейно зависимы. Это противоречит условию (по условию эти элементы образуют базис и, следовательно, линейно независимы).
Так как , то линейно выражается через , , , :
, ⇒ .
Докажем, что линейно выражается через базис единственным образом. Предположим противное. Пусть
и ,
причем хотя бы для одного . Пусть . Тогда
,
⇒ .
Так как , то . Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов , , , , среди коэффициентов которой есть ненулевые. Значит , , , – линейно зависимые. Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис.
Следовательно, предположение неверное и вектор разлагается по базису , , , единственным образом.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число
.
Если или , то скалярное произведение векторов и полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначают или .
СВОЙСТВА
1. .
2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на проекцию вектора на вектор (длины вектора на проекцию на ).
3..
4. ,.
5. .
6. Если a ┴b, то
Критерий ортогональности (перпендикулярности)векторов
Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть векторы и перпендикулярны. Тогда
и .
Обратно, пусть и , . Тогда
и , ,
⇒ и . ∎
Скалярное произведение в декартовой системе координат:
Дано:
={ax;ay;az};
={bx;by;bz;}
Вывод формулы:
=1 (j,j)=1 (k,k)=1
(i,j)=0 (j,k)=0 (i,k)=0
=(axi+ ay j+ az k)( bxi+ by j+ bz k)= a xb x+a yb y+a zb z
Определение правой тройки векторов
Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору на меньший угол виден из конца вектора против часовой стрелки.
Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) , где – угол между векторами и ;
2) вектор перпендикулярен векторам и ;
3) тройка векторов , и – правая.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору.
Векторное произведение векторов и обозначают или .
СВОЙСТВА:
-
.
-
.
-
, .
-
Ненулевые векторы и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (критерий коллинеарности векторов).
-
Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (геометрический смысл векторного произведения).
-
Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты: , ,
то .
Заметим, что , , . Теперь, чтобы получить требуемую формулу, достаточно применить к векторному произведению сначала свойство 3, затем свойство 2, и, наконец, свойства 1 и 4.
-
Если вектор это сила, приложенная к точке , то векторное произведение представляет собой момент силы относительно точки (механический смысл векторного произведения).
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. . Если хотя бы один из векторов , или нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение векторов , и обозначают или . СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
-
.
-
При перестановке любых двух векторов их смешанное произведение меняет знак.
-
.
,
,
.
4. Ненулевые векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (критерий компланарности векторов).
Если векторы , и компланарны, то вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти векторы. Следовательно, и.
Обратно, пусть . Так как , то это означает, что или векторы или .
Пусть Так как и перпендикулярны вектору , то векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
Пусть . Тогда векторы и – коллинеарные и, следовательно, векторы , и лежат в одной плоскости.
6. Если , то векторы , , образуют правую тройку. Если , то тройка векторов , , – левая.
Действительно, пусть . Так как
,
то угол между вектором и – острый. Но тогда поворот от вектора к виден из конца вектора также, как из конца вектора , т.е. против часовой стрелки. Следовательно, тройка векторов , , – правая .
Если , то угол между вектором и – тупой. Но тогда поворот от к из конца вектора и из конца вектора виден в разных направлениях. Значит тройки векторов , , и , , имеют противоположную ориентацию. =>, тройка векторов , , – левая.
7. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов , , равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (геометрический смысл смешанного произведения).
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , равен .
Основание параллелепипеда – параллелограмм, построенный на векторах и . Следовательно, его площадь .
Высота параллелепипеда равна , если тройка векторов , , – правая и , если тройка векторов , , – левая.
.
8. Объем пирамиды, построенной на векторах , , равен модуля их смешанного произведения (следствие свойства 7).
(Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат)
9. Если в декартовом прямоугольном базисе векторы , , имеют координаты: , , ,
то .
Действительно, так как и
,
то .
Линейное пространство: Пусть – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные (комплексные) числа. Договоримся элементы из обозначать малыми латинскими буквами, а числа – малыми греческими буквами. Тогда Множество называется линейным пространством над ℝ(ℂ) если для любых элементов и для любых чисел ℝ(ℂ) выполняются условия:
-
(коммутативность сложения элементов из );
-
(ассоциативность сложения элементов из );
-
Во множестве существует такой элемент , что . Этот элемент называют нулевым элементом множества ;
-
Для любого элемента существует элемент такой, что . Элемент называют противоположным к ;
-
(ассоциативность относительно умножения чисел);
-
(дистрибутивность умножения на элемент из относительно сложения чисел);
-
(дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из );
-
.
ПРИМЕРЫ линейных пространств.
1) Пусть ℝ – множество матриц размера с элементами из ℝ. Для этого множества все условия определения выполняются . Следовательно, множество ℝ является линейным пространством над ℝ.
2) Пусть () – множество свободных векторов пространства (плоскости). Для этого множества тоже выполняются все условия определения Следовательно, множество () является линейным пространством над ℝ.
Определение подпространства, критерии
Пусть – линейное пространство над ℝ(ℂ), – непустое подмножество в .
Тогда говорят, что является подпространством линейного пространства (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на .
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА (критерий подпространства). Пусть – линейное пространство над ℝ(ℂ), – непустое подмножество в . является подпространством линейного пространства тогда и только тогда, когда для любых элементов и любого ℝ выполняются условия: 1) ; 2) .
Определение линейной зависимости и независимости
Пусть – линейное пространство над ℝ(ℂ), , , , .
Тогда говорят, что векторы , , , линейно зависимы, если существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация равна нулевому элементу линейного пространства .
Если же равенство возможно только при условии , то векторы , , , называют линейно независимыми