1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

Числовой матрицей размера (m*n) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются: А, В, С, а элементы – а_ij, b_ij, с_ij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij в матрице.

Виды матриц:

1. Прямоугольная матрица размера (m*n);

2. Матрица-строка размера (m*n); m=1

3. Матрица-столбец размера (m*n); n=1

4. Квадратная матрица порядка n – это матрица, у которой число строк равняется числу столбцов m=n. Количество строк и столбцов определяет порядок матрицы.

Среди квадратных матриц можно выделять следующие:

5. Верхняя и нижняя треугольные матрицы.

В верхней треугольной матрице все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, а в нижней треугольной матрице все элементы, стоящие выше главной диагонали равны 0.

6. Диагональная и скалярная матрицы. В диагональной матрице ненулевыми являются только элементы, стоящие на главной диагонали, а в скалярной – все эти элементы должны быть одинаковыми.

7. Единичная матрица – это такая матрица у которой диагональные элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю.

8. Транспонированная матрица – Матрица размера m x n, полученная из исходной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.

Равные матрицы – это матрицы, у которых соответственные элементы равны.

2. Линейные и нелинейные операции над матрицами

Сложение матриц:

Для того, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в обеих матрицах). Складывать можно только матрицы одного размера.

Произведение матрицы на число:

для того, чтобы умножить матрицу на отличное от нуля число, нужно умножить на это число все элементы этой матрицы.

Аналогично можно определить обратное действие – вынесение общего множителя из всех элементов матрицы за знак матрицы.

Свойства:

1. (коммутативность сложения матриц);

2. (ассоциативность сложения матриц);

3. ;

4. ;

5. (ассоциативность относительно умножения чисел);

6. (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел);

7. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц);

8. .

Умножение матриц. Свойства произведения матриц

Умножение матриц возможно, если число столбцов n матрицы А равно числу строк матрицы В. Или: число элементов в строке матрицы А должно равняться числу элементов в столбце матрицы В. Получается в результате умножения матрица С будет иметь размер (m*p), т.е в матрице С столько строк, сколько их в первой матрице А и столько столбцов, сколько их во второй матрице В. Формально это можно записать так:

(m*n)*(n*p)=(m*p)

Внутренние числа должны быть одинаковыми, это указывает на возможность умножения, а внешние числа дают размер матрицы С. Отметим сразу, что в общем случае АВ≠ВА, т.е нельзя переставлять сомножители в произведения.

Правило умножения: Элемент c_ij, стоящий в строке с номером i и в столбце с номером j в матрице С равен сумме произведений элементов строки с номером i первой матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j второй матрицы В.

Свойства нелинейных операций:

1. , ;

2. (ассоциативность умножения матриц);

3. (дистрибутивность умножения матриц справа относительно сложения матриц);

4. (дистрибутивность умножения матриц слева относительно сложения матриц).

Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;