- •1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
- •2. Линейные и нелинейные операции над матрицами
- •Умножение матриц. Свойства произведения матриц
- •3. Перестановка чисел, число инверсий, определитель
- •4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг
- •Метод окаймляющих миноров:
- •Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Фундаментальной системой решений (фср), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
- •Определение проекции вектора на ось:
- •Направляющие косинусы в декартовой системе координат
- •Линейная зависимость и независимость свободных векторов:
- •Критерий линейно зависимости свободных векторов
- •Определение базиса:
- •Теорема о базисе
- •Скалярное произведение векторов
- •Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
- •Параметрическое уравнение.
- •Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
- •Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
- •Каноническое уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
- •Эллипс, свойства эллипса
- •Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
Составим уравнение плоскости, проходящей через , параллельно неколлинеарным векторам и .
– текущая точка плоскости. и – радиус-векторы точек и . Рассмотрим , и . По условию они компланарны. Следовательно ,
в координатной форме,.
Полученные уравнения называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам
Уравнение плоскости проходящей через 3 заданные точки
пусть плоскость проходит через , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы
и
неколлинеарные и параллельны плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид
, в координатной форме:.
Данные уравнения называют уравнениями плоскости, проходящей через три точки , и .
Прямая линия в пространстве
Пусть и – уравнения непараллельных плоскостей. Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой . Координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы
Данную систему называют общими уравнениями прямой в пространстве
Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
Даны, и . Вектор l называют направляющим вектором этой прямой. – текущая точка прямой. и – радиус-векторы точек и . . Следовательно, существует такое число ( называют параметром), что,⇒ ,
или,
(48)
полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей то из уравнений системы можно выразить параметр :
, , и заменить систему одним уравнением вида: ,
Канонические и параметрические уравнение прямой через 2 точки
Даны и . Тогда вектор
является ее направляющим вектором и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид .
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть
1) параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Пусть : и :. Тогда – нормальный вектор плоскости, – направляющий вектор прямой.
Если плоскость и прямая параллельны или прямая целиком лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Следовательно , или.
Если данные условия не выполняются, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Если l . В этом случае и будут параллельны, т.е. .
Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности, , где – некоторая точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, => .
Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия: и ;
если прямая параллельна плоскости, то и ,
где – точка прямой .
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
– угол между прямой и плоскостью . Через точку пересечения прямой плоскости проведем прямую , . Пусть – острый угол между прямыми и .
Тогда . Но , – формула для определения угла между прямой и плоскостью.