- •1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
- •2. Линейные и нелинейные операции над матрицами
- •Умножение матриц. Свойства произведения матриц
- •3. Перестановка чисел, число инверсий, определитель
- •4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг
- •Метод окаймляющих миноров:
- •Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Фундаментальной системой решений (фср), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
- •Определение проекции вектора на ось:
- •Направляющие косинусы в декартовой системе координат
- •Линейная зависимость и независимость свободных векторов:
- •Критерий линейно зависимости свободных векторов
- •Определение базиса:
- •Теорема о базисе
- •Скалярное произведение векторов
- •Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
- •Параметрическое уравнение.
- •Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
- •Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
- •Каноническое уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
- •Эллипс, свойства эллипса
- •Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
Критерий существования обратной матрицы
Пусть – квадратная матрица порядка . Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Причем обратная матрица может быть найдена по формуле:
,
где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы , т.е.
.
Матрица называется союзной для матрицы .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Необходимость утверждения доказана ранее (см. свойство 3 матриц, имеющих обратную). Требуется доказать только достаточность.
Пусть матрица – невырожденная. Тогда существует матрица . Докажем, что она является обратной к . Имеем:
.
Здесь использовали, что (следствие 2.2 теоремы Лапласа), (следствие 2.3 теоремы Лапласа).
Аналогично доказывается, что
.
Следовательно, . ∎
Матричный метод решения системы
Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений и число неизвестных совпадает и . Тогда:
1) и, следовательно, такая система имеет единственное решение;
2) матрица имеет обратную матрицу .
Запишем систему в матричной форме: .
Умножим обе части равенства на слева. Получим:
, ⇒ , ⇒ ,
⇒ .
Если в системе линейных уравнений и , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле .
Метод Крамера
Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
(), где , а – определитель, получаемый из определителя заменой его -го столбца на столбец свободных членов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Так как , то матрица имеет обратную и систему можно решить матричным методом, т.е.
,⇒ .
Но выражение представляет собой разложение по -му столбцу определителя . Следовательно,
. ∎
СЛОУ – называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
эта система всегда совместна, так как всегда является ее решением. Это решение называют тривиальным. Система имеет не тривиальное решение если и или если (в обоих случаях и, следовательно, система имеет множество решений)
Фундаментальной системой решений (фср), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
а) ФСР состоит из (n — R) линейно независимых решений;
б) любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений
Определение проекции вектора на ось:
Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.
Пусть имеется некоторая ось и вектор . Обозначим через и ортогональные проекции на ось точек и соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора на ось называется длина его векторной проекции на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор и ось сонаправлены, и со знаком минус – если вектор и ось противоположно направлены.
Свойства проекицй:
1) Равные векторы имеют равные проекции
2) Проекция суммы векторов на одно и то же направление равна сумме проекций каждого вектора на это направление
3) При умножении вектора на число его проекция умножается на это число
Направляющие косинусы в декартовой системе координат
Обозначим через , и углы, которые вектор образует с координатными осями , и соответственно. , , называются направляющими косинусами вектора . Найдем направляющие косинусы вектора через его координаты:
Находим:
, .
Следовательно,
, , .
свойство напр. косинусов .
ТЕОРЕМА О сведении линейных операций над векторами к таким же операциям над их одноименными координатами.
1) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , вектор имеет в том же базисе координаты , то вектор будет иметь в базисе , , , координаты .
2) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , то для любого числа ℝ вектор будет иметь в том же базисе координаты .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию , .
Тогда
и .