4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг

Пусть – матрица размера . Выберем в ней произвольно строк и столбцов (где ). Пусть, например, это будут строки с номерами и столбцы с номерами . Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим определитель :

.

Этот определитель называют минором -го порядка матрицы .

Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А порядка n наз. минор этого элемента M_ij взятый со знаком (-1)^i+j

Ранг - максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля; базисный минор – это минор, отличный от нуля максимального порядка.

Минором элемента a_ij матрицы порядка n определитель порядка n-1 полученный из элементов матрицы после вычеркивания из нее строки с номером i и столбца с номером j на пересечении которого стоит этот элемент

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида:

1) умножение строки (столбца) на число ;

2) прибавление к -й строке (столбцу) -й строки (столбца), умноженной на число ;

3) перестановка -й и -й строки (столбца);

4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов);

5) вычеркивание нулевых строк (столбцов).

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид , где (), – числа. Числа называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.

система линейных уравнений с неизвестными:

(5)

Обозначим через и следующие матрицы:

и .

Матрицу называют основной матрицей системы (5), а матрицу  – расширенной матрицей системы (5).

Пусть – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов, т.е.

и .

Тогда систему (5) можно записать в виде матричного уравнения . Его называют матричной формой системы (5).

Упорядоченный набор чисел называется решением системы (5), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решений, называется неопределенной.

окаймляющим минором называется любой минор порядка , содержащий минор .

ТЕОРЕМА . Если в матрице есть минор -го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен .

Метод окаймляющих миноров:

Находим в матрице минор порядка , отличный от нуля (где ). Если все его окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для . Если среди них нет ненулевых, то ранг матрицы равен . Если найдется окаймляющий минор , то рассматриваем окаймляющие миноры для и т.д. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не будет найден ранг матрицы, или не дойдем до окаймляющего минора , где – максимальный порядок миноров в матрице. Последнее будет означать, что ранг матрицы равен .

ТЕОРЕМА. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые миноры (они могут лишь изменить их знаки).

ТЕОРЕМА . Любая матрица эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, которая может быть получена из элементарными преобразованиями только строк.

метод элементарных преобразований:

1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу ;

2) находим в матрице базисный минор и определяем ранг матрицы и матрицы .