40. Косвенные доказательства (апагогическое, разделительное). Схемы проведения, примеры.
Структура
В составе доказательства выделяются следующие элементы.
1. Тезис доказательства – высказывание, истинность или ложность которого
следует доказать.
2. Аргументы – высказывания (истинность которых не вызывает сомнения),
посредством которых осуществляется доказательство тезиса.
Аргументы- это суждения об установленных фактах, определения, аксиомы,
теоремы
3. Демонстрация – логическая форма построения доказательства. Демонстрация, как правило, имеет форму дедуктивного умозаключения или цепи таких умозаключений. Значительно реже встречаются недедуктивные доказательства, где демонстрация выступает в форме индуктивного умозаключения или аналогии.
Логический способ обоснования тезиса при помощи аргументов, возможно, с исполь-
зованием промежуточных допущений.
Основное функциональное назначение логики заключается в том, что она исп-ся в процедурах док-ва и опровержения.
Доказательство – логическая операция по обоснованию истинности суждений с помощью других истинных суждений. Строение доказательства определяется тремя вопросами:
1. Что доказывается?
2.Чем доказывается выдвигаемое положение?
-
Как оно доказывается?
Ответы на эти вопросы раскрывают соответственно тезис, основания (аргументы) и демонстрация.
Виды док-ва: прямое и косвенное
Прямое – доказательство, при котором тезис логически следует из найденных аргументов. При прямом доказательстве берутся такие аргументы, которые являются достаточными для обоснования тезиса, и из которых доказываемый тезис выводится по логическим правилам.
Косвенное – доказательство, при котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности противоречащего положения. Наиболее распространенными видами косвенного доказательства являются апагогическое и разделительное доказательства.
При апагогическом доказательстве устанавливается ложность антитезиса, т.е. противоречащего тезису суждения. Апагогическое док-во – это косвенное обоснование истинности тезиса путём установления ложности противоречащего ему допущения.
Алгоритм:
1) выдвигается антитезис, противоречащий тезису и условно принимается за истину.
2) из антитезиса выводятся следствия (Если А, то B, т.е. импликация).
3) сопоставление следствий с фактами
4) возвращаемся к антитезису и его следствию
5) доказываем состоятельность тезиса
Ложность антитезиса устанавливается обычно следующим образом: предполагается истинность антитезиса и из него выводятся следствия. Если хотя бы одно из полученных следствий вступает в противоречие с имеющимися суждениями, истинность которых уже установлена, то следствие признается ложным, а вслед за ним признается и ложность антитезиса. Здесь действует правило «сведение к абсурду».
Пример:
1) Меньшая посылка модусов 1-ой фигуры ПКС всегда утвердительная
2) Меньшая посылка модусов 1-ой фигуры отрицательная.
3) Тогда заключения модусов 1-ой фигуры тоже должны быть отрицательными;
4) в отрицательных суждениях предикат всегда распределён, а термин, распределённый в заключении, должен быть распределён и в посылке.
Термин предиката находится в большей посылке. Значит, большая посылка также отрицательно суждение.
Однако из двух отрицательных посылок вывод не слудует вообще (см. правила ПКС). Значит, меньшая посылка модусов первой фигуры утвердительна
При разделительном доказательстве устанавливается ложность всех членов разделительного (дизъюнктивного) суждения, кроме одного, являющегося доказываемым тезисом.
Разделительное
доказательство строится по
отрицающе-утверждающему модусу
разделительно-категорического силлогизма
и является правильным при соблюдении
правил этого модуса. Его схема:
.
Разделительное док-во – это косвенное обоснование тезиса, выступающего членом дизъюнкции, путём установления ложности и исключения всех остальных членов дизъюнкции.
Алгоритм доказывания:
1) формулируется тезис;
2) в виде дизъюнктов формулируются все остальные высказывания, которые вместе с тезисом полностью хар-ют ситуацию.
3) исключаем все остальные дизъюнкты, кроме тезисов.
4) делаем вывод об истинности тезиса.
Это модус толендо поненс – отрицающе-утверждающий модус.
(AұCұDұT), где Т – тезис
┐A
┐C
┐D
T
Дизъюнкция яв-ся отрицающей.