Электромагнитная волна, сформированная элементарным электрическим излучателем, будет иметь вид известных нам уравнений гельмгольца

▼² Н + к ² Н = 0;

▼² Е + к ² Е = 0. (4.8)

При наличии источника поля в виде зарядов ρ и тока δ уравнения Гельмгольца примут вид

▼² Н + к ² Н = - rot δ;

▼² Е + к ² Е = jωμδ + (1/ ε) grad ρ. (4.9)

Полученные неоднородные волновые уравнения (4.9) отличаются от уравнений (4.8) наличием в правой части плотности сторонних зарядов и токов. Искать решение уравнений (4.9), как задачи об излучении, в виде нахождения векторов поля в заданной точке M(xyz) достаточно сложная задача. Для упрощения решения вводят вспомогательные функции. Такими функциями, например, могут быть электродинамические потенциалы.

4.2. Методика нахождения векторов поля ээи

4.2.1. Модели элементарных электрических излучателей

Для практического использования в качестве модели элементарного излучателя предлагается рассмотреть две схемы. Первая состоит из генератора, подключенного с помощью проводников к разнесенным обкладкам конденсатора. Обкладки представляют собой плоские металлические поверхности, между которыми образуется переменное электрическое поле (рис. 4.5). Вторая схема отличается от первой тем, что пластины заменены металлическими шарами. Эта модель была впервые использована Генрихом Герцем и получила название ДИПОЛЬ ГЕРЦА (рис.4.6).

U ~ Е

Рис.4.5

Эпюра тока Условие элементарности

l << λ

δ d << l

U ~ l

Рис. 4.6

4.2.2.Вывод выражений для поля элементарного электрического излучателя

Пусть элементарный электрический излучатель расположен вдоль оси z, плотность гармонически изменяющегося тока δ = δ_м sin ωt. Задачей является нахождение векторов поля в произвольной точке М(xyz). Учитывая, что излучатель практически точечный и расположен в свободном пространстве, образуемый им фронт волны будет сферической формы. Воспользовавшись сферической системой координат, составим искомые векторы, которыми будут Е_φ, Е_θ, Е_r, Н_φ, Н_θ, Н_r. На рисунке 4.7 представлена сферическая система координат [1-6]. Из рисунка видно, что в точке М будут векторы поля, то есть Е _r ≠ 0, Е _θ ≠ 0 и Н _φ ≠ 0, так как векторы Е_φ = Н _θ = Н _r = 0. Действительно, магнитное поле симметрично, поэтому существует только Н_φ.

Z r

Е _r

Н _φ

Θ

М(xyz)

δ Е _θ y

φ

x Рис.4.7

Электрический вектор Е_θ создается вектором Н _φ, а вектор Е _r - движущимися зарядами. Исходя из малых размеров длины l и поперечного сечения S электрический момент излучателя определится

_{+ l / 2}

Р_э = ∫ δ dv = ∫ δ ∫ dz = I l . (4.10)

^{V S ─l / 2}

Ток I протекает вдоль оси диполя или вдоль координаты z, и для выбранной сферической системы равен [1]

I z⁰ = I ( r⁰cosθ - θ ⁰ sinθ), (4.11)

где z⁰ , r⁰, θ⁰ – орты соответствующих координат.

Тогда векторный потенциал А

μ I l е ^{─j кr}

А = ―― ―― ( r⁰cosθ + θ⁰sinθ). (4.12)

4 π r

По векторному потенциалу определяется вектор магнитного поля Н _φ из выражения связи (3.10)

Н _φ = (1/μ) rot А _φ. (4.13)

В сферической системе координат

r ⁰ rθ⁰ r sinθ φ⁰

1 ∂ ∂ ∂

rot А = ――― ―― ―― ―― (4.14)

r ² sinθ ∂ r ∂ θ ∂ φ

А _r r А _θ r sinθ А _φ

Из выражения (4.12) следует, что

μ I l е ^{j к r}

А _r = ――― ―― cos θ;

4 π r (4.15)

μ I l е ^{─j к r}

А _θ = ─ ――― ―― sinθ; А _φ = 0.

4 π r

Из выражений системы (4.15) следует, что ни одна из составляющих векторного потенциала не зависит от угловой координаты φ. Это значит, что поле элементарного электрического излучателя обладает осевой симметрией и потому ∂ ⁄ ∂φ = 0. Для нахождения вектора Н _φ необходимо подставить значения векторных потенциалов А _r , А _θ , Аφ из выражений (4.15) в оператор (4.14) и полученное значение rotА подставить в выражение связи (4.13). После преобразований определится выражение вектора магнитного поля Н_φ в искомой точке М

I l к² 1 j

Н _φ = ―― [ ―― + ――] sinθ е^{─j к r} ; (4.16)

4 π (к r) ² (к r)

Н _r = Н _θ = 0.

Вектор напряженности электрического поля можно найти, воспользовавшись первым уравнением Максвелла. Так как вне вибратора нет токов проводимости δ = 0, то rot Н = j ω ε Е, откуда Е = -- j rot Н / ω ε . (4.17)

После использования выражений (4.16), (4.17) и их преобразования получаются выражения для векторов электрического поля в виде

I l к³ j 1

Е _r = ─ ――― [ ―― ─ ―― ] cos θ е ^{–j к r} ;

2 π ω ε (кr) ³ (кr) ²

I l к ³ j 1 j (4.18)

Е _θ = ─ ――― [ ―― ─ ―― ─ ――] sinθ е ^{–j к r} ;

4 π ω ε (кr) ³ (кr) ² (кr)

Е _φ = 0.

Формулы (4.16) описывают магнитную, а формулы (4.18) - электрическую составляющие поля излучения элементарного электрического диполя в точке М. Из указанных формул и рисунка 4.7 видно:

- вектор электрического поля Е всегда лежит в плоскости, проходящей через ось диполя и точку М(xyz);

- плоскость, в которой лежит вектор Е, называется меридиальной или плоскостью Е;

- вектор напряженности магнитного поля Н всегда перпендикулярен меридиальной плоскости, то есть имеет широтную ориентацию;

- плоскость, в которой располагается магнитный вектор, есть плоскость, перпендикулярная оси диполя и проходящая через его середину называется экваториальной или плоскостью Н;

- оба вектора Е и Н зависят от координат r и θ сферической системы и не зависят от координаты φ;

- поле неравномерно распределено в пространстве, так как значения sinθ и cosθ как сомножители в формулах меняются от 0 до 1, и обладает осевой симметрией;

- векторы Е и Н взаимно перпендикулярны;

- значения векторов изменяются с изменением расстояния по закону 1/ r, причем расстояние r измеряется в волновых числах, то есть как кr;

- множитель е ^{– j к r} определяет положение вектора в точке М;

- ∫( е ^{– j к r}/ r)dr – интеграл Зоммерфельда, решается он использованием теории рядов, поэтому в формулах этот интеграл представлен весомыми члены сходящегося ряда.

Таким образом, поле элементарного электрического излучателя имеет характер сферической волны, содержит взаимно связанные векторы Е и Н.