1.3.3.Комплексная диэлектрическая проницаемость среды
В природе идеальных диэлектриков не существует, поэтому всякая среда обладает некоторой проводимостью. Разделение сред на проводники, полупроводники и диэлектрики осуществляется по относительным значениям тока проводимости δ = σΕ и тока смещения δ см = ∂D / ∂t. Если ток проводимости много больше тока смещения, то есть δ >> δ см , то такую среду считают проводником и в расчетах током смещения пренебрегают. Наоборот, если ток смещения значительно превышает ток проводимости, то есть
δ см >> δ, то такая среда есть диэлектрик.
В промежуточных случаях, когда токи проводимости и смещения имеют реальные величины, среда называется полупроводником.
Когда поле меняется по гармоническому закону, первое уравнение Максвелла для комплексных векторных амплитуд векторов Е и Н в точках, где нет источников, имеет вид
rot H = δ + jω D = | δ = σ Е; D = ε Е | = σ Ε + jω ε Ε = jω E ( ε - jσ / ω ).
Полученное выражение в скобках получило название абсолютной комплексной диэлектрической проницаемости, то есть
σ
ε к = ε ─ j ------- . (1.56)
ω
Полученное уравнение позволяет рассматривать любую среду как «диэлектрик» с комплексной диэлектрической проницаемостью ε к. Однако для каждой реальной среды можно определить значение так называемой граничной частоты ω гр , при которой амплитуды токов проводимости и смещения равны между собой. В первом уравнении Максвелла
rot H = ( σ + jω ε ) E (1.57)
равенство токов возможно при равенстве проводимостей σ = ωε, откуда
σ
ω гр = --------- . (1.58)
ε
На высоких частотах при ω >> ω гр в среде преобладающую роль играют токи смещения. Следовательно, среду можно рассматривать как диэлектрик. А для низких частот ω гр >> ω в среде преобладают токи проводимости и среда рассматривается как проводник.
Лекция № 2
Тема № 2. Энергия и мощность ЭМП.
УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ:
1. Дать представление о законах и методах электродинамики;
2.Научить применять уравнения Максвелла.
3.Дать знания основ электродинамики.
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ:
1.Совершенствовать фундаментальные знания по специальности;
2.Формировать интерес и активность в изучении дисциплины.
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Закон сохранения энергии ЭМП;
2. Однородные волновые уравнения и волновой характер ЭМП.
1. Закон сохранения энергии электромагнитного поля
Электромагнитное поле как вид материи обладает энергией. Причем, с точки зрения квантовой электродинамики, энергия покоя фотона, как дискретной частицы поля, всегда равна нулю. Иначе, фотон всегда движется. Как проявляется его энергия? Так, воздействие быстропеременных полей на органы чувств вызывает ощущение тепла, а при известной частоте колебаний поля последнее проявляется как свет. Кроме того, фотоэлектрический эффект, фиксация поля на значительных расстояниях от источника поля – все это есть проявление энергии поля. Таких примеров можно приводить много [1-6]. Однако задача данного вопроса состоит в описании явления, связанного с движением энергии поля и его распределением в пространстве. Для этого, предварительно, проведем логический анализ баланса энергии поля, заключенного в объеме V с параметрами ε, μ и σ, ограниченном поверхностью S (рис.2.1). На основании логики полная мощность поля Р явится суммой мощности потерь Ρп, мощности излучения ΡΣ и потенциальной энергии, сохраненной в объеме - ∂W / ∂t. Следовательно, уравнение баланса энергии электромагнитного поля для замкнутого объема примет вид
∂W
P = Pп + PΣ + -------- . (2.1)
∂t
V PΣ
ε μ σ
S
Рис. 2.1
Составление уравнения баланса энергии поля может быть выполнено на основании несложных преобразований первых двух дифференциальных уравнений Максвелла. Умножим первое уравнение на вектор Е с минусом, а второе – на Н и произведем сложение соответствующих частей
∂ D
rot H = δ + ------- -- Е
∂ t
+
∂ B
rot E = – ------- Н
∂ t
После сложения получим
∂ D ∂ В
Н rot E - E rot H = - δ Е - ( Е ---- + H ---- ) . (2.2)
∂ t ∂ t
В выражении (2.2) левая часть уравнения есть
div [ E x H ] = Н rot Е - Е rot Н. (2.3)
Подставив выражение (2.3) в выражение (2.2) и проинтегрировав его по объему V, ограниченному поверхностью S, можно получить
∂ D ∂ B
∫ div [ E x H ] dv = – ∫ δ Е dv – ∫ ( Е —— + Н —— ) dv. (2.4)
V V V ∂ t ∂ t
Используя уравнение Остроградского – Гаусса, заменим левую часть выражения (2.4) поверхностным интегралом, получим
∂ D ∂ В
∫ [ Е х Н ] ds = ─ ∫ δ Е dv ─ ∫ ( Е —— + Н —— ) dv. (2.5)
S V V ∂ t ∂ t
Полученное выражение (2.5) описывает закон сохранения энергии для электромагнитного поля [1-6]. Рассмотрим физический смысл каждого члена, входящего в выражение устанавливающего закон.
1.Анализ показывает, что левая часть есть полная мощность ΡΣ, излученная полем, сосредоточенным в объеме V, через поверхность S, охватывающую этот объем, то есть ΡΣ = ∫ [ Е х Н ] ds . (2.6)
Ѕ
Из векторного анализа известно, что векторное произведение [ ЕхН ] векторов есть третий вектор П, перпендикулярный площади параллелограмма, построенного на перемноженных векторах и по модулю численно равный этой площади, то есть [ЕхН] = П, при этом вектор П называется вектором Пойнтинга.
Вектор П показывает направление и уровень энергии электромагнитного поля, проходящего в единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной этому вектору и лежащей в плоскости векторов Е и Н
РΣ = ∫ [E x H] ds = ∫ П ds . (2.7)
S S
Таким образом, выражение (2.7) описывает полную мощность PΣ излученную, то есть безвозмездно теряемую полем, сосредоточенным в объеме V, в окружающее объем пространство. Причем энергия может быть направлена как из объема, так и в объем. Размерность вектора П - Вт / м2.
2.Первое слагаемое правой части выражения (2.5) устанавливает энергию потерь Рп поля, выделяемую в объеме со средой проводимостью σ. Выражение под интегралом можно преобразовать, показав, что под действием вектора Е в объеме возникает ток проводимости, последний создает тепловые потери мощности поля в среде проводимостью σ
δ2
∫ δ Е dv = ∫ σ Е 2 dv = ∫ —— dv = ∫ δ2 R dv = I U = Рп . (2.8)
V V V σ V
Легко убедиться, что физическое содержание выражения (2.8) после преобразований приведено к известному закону ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА, который применяется для участка цепи с током I и напряжением U. Следовательно, под действием поля в объеме произойдет перемещение зарядов. Заряды будут распределяться таким образом, что поле, созданное ими, будет стараться скомпенсировать поле, возбудившее движение зарядов. Чтобы в объеме непрерывно проходило перемещение зарядов, необходимо наличие поля. Такое поле может создаваться и поддерживаться процессами не электростатического происхождения (например, химическими и др.) и носит название стороннего электрического поля - Е ст. Введение в объем V стороннего источника поля в виде – Ест создаст результирующее поле Е рез = Е + Ест, которое отразится в выражении (2.8) в виде
∫ δ Ерез dv = ∫ δ ( Е + Е ст )dv = ∫ δ Ε dv + ∫ δ Εст dv. (2.9)
V V V V
В результате преобразований в правой части выражения (2.9) имеются два интеграла. Первый был описан и проанализирован в выражении (2.8), а второй представляет описание мощности сторонних источников Рст, действующих в объеме V. Причем, если плотность тока δ в объеме совпадает по фазе со сторонней напряженностью электрического поля, то сторонний источник подпитывает своей энергией электромагнитное поле, а если не совпадает, то будет уменьшать поле в объеме.
3. Второй интеграл выражения (2.5) целесообразно преобразовать с учетом материальных уравнений электродинамики
∂ D ∂ В ∂ ε Е 2 μ Н 2
∫ ( Е —— + H —— ) dv = —— ∫ ( —— + —— ) dv . (2.10)
V ∂ t ∂ t ∂ t V 2 2
Полученное выражение (2.10) читается следующим образом: скорость изменения энергии электромагнитного поля в объеме V. Эта потенциальная энергия носит колебательный характер, то есть в объеме происходит обмен энергией между составляющими поля – электрической и магнитной - и соответствует записи ∂W/ ∂ t .
Таким образом, закон сохранения энергии электромагнитного поля устанавливает, что энергия поля расходуется на нагрев объема, на излучение за пределы объема, а также в объеме существует колебательная энергия, изменяющаяся во времени. Причем, если в объеме присутствуют сторонние источники, они могут усилить колебательный процесс электромагнитного поля или ослабить его.