115

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Им. И.КАНТА

В.Е. ПОНИМАТКИН

Электромагнитные поля и волны

Часть вторая

Учебное пособие

.

КАЛИНИНГРАД

2005

В В Е Д Е Н И Е

Настоящие материалы представляют учебное пособие, разработанное для слушателей Российского государственного университета, по дисциплине СП.05 ЕН.Ф.08 «Электромагнитные поля и волны» по специальности «многоканальные телекоммуникационные системы».

При написании учебного пособия использован многолетний опыт преподавания теории антенн для слушателей ВУЗ, готовящих специалистов службы связи Российской Федерации. Особое внимание уделяется теории электромагнитных волн у границы раздела сред, электродинамическим основам работы направляющих систем и направляемых электромагнитных волн, показаны направления приема электромагнитных волн в проводящих средах, даны методы расчета параметров линий передачи и способам повышения эффективности передачи энергии ЭМП. В конце каждой главы приведены вопросы для самопроверки знаний и умения по проработанной теме.

Математический аппарат соответствует программе дисциплины «Высшая математика». Предполагается, что слушатели изучили следующие дисциплины: «Физика», «Основы теории цепей» и другие дисциплины.

Изложенный материал предполагает самостоятельную работу слушателя с пособием без необходимой помощи со стороны преподавателей.

Глава 1 Электромагнитные волны у границы раздела сред

1.1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

1.1.1. Физическое представление электродинамической задачи о границе

раздела сред

Среды, ранее рассмотренные, неоднородны по своим электрическим параметрам ε, μ и σ. В процессе изучения среда по своим свойствам была классифицирована как однородная, неоднородная, изотропная, анизотропная, линейная и нелинейная. При этом отмечалось, что параметры среды могут меняться как непрерывно, так и дискретно. На практике для упрощения решения задач принимается дискретное изменение свойств сред. Это допущение приводит к появлению границ раздела сред. Причем граница раздела является плоской и безграничной, а среды однородные и изотропные. Первая среда с параметрами ε₁, μ₁, σ₁ и вторая среда – ε₂, μ₂, σ₂. Плоская электромагнитная волна, падая из первой среды на границу раздела сред, частично проходит через нее, продолжая распространяться во второй среде в измененном направлении. Эта волна получила название преломленной волны. В то же время энергия электромагнитной волны частично отразится от плоской границы раздела сред и получит измененное направление по сравнению с падающей. Эта волна получила название отраженной волны. Следует заметить, если падение волны происходит на тело ограниченных размеров, то это явление более сложное и называется дифракцией. Ни отраженная, ни преломленная волны в этом случае уже не могут быть плоскими [1-6].

В первой среде распространяется падающая плоская волна с векторами Е₀ и Н₀, и отраженная – с векторами Е_от и Н_от . Во второй среде распространяется только плоская преломленная волна с векторами Е_пр и Н_пр. Причем направление распространения падающей волны образует с нормалью n₁ к поверхности раздела сред угол θ₀, а направление распространения отраженной волны с нормалью n₁ - угол θ₁. В то же время направление распространения плоской преломленной волны с нормалью n₂ к границе раздела во второй среде образует угол θ₂. Рисунок 1.1 дает представление о распространении волн и углах между направлением и нормалью к границе раздела сред.

n ₁

Е₀

Н₀ Е_от

θ₀ θ₁ Н_{от Среда 1}

ε₁ μ₁ σ₁

ε₂ μ₂ σ₂

_{Среда 2}

θ₂ Е_пр

Н_пр

n₂

Рис.1.1

На основании рисунка 1.1 видно, что граница раздела оказывает влияние на распространяющуюся через границу падающую волну:

- падающая преобразуется в отраженную и преломленную;

- векторы поля изменяются по амплитуде и по фазе.

Задачей электродинамики является установление соотношений между векторами поля: падающей и отраженной волн, а также падающей и преломленной.

Соотношения, устанавливающие закон изменения векторов поля на границе раздела сред, называют граничными условиями.

Для разработки теории о границе раздела введены следующие понятия:

- плоскость, проходящая через направление распространения падающей волны и нормаль, называется плоскостью падения;

- вектор, лежащий в плоскости падения, называется параллельно поляризованным;

- вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости падения, называется нормально поляризованным.

Физическое понимание граничных условий можно уяснить на основании рисунка 1.2, на котором показан только падающий Е₀ и преломленный Е_пр вектора. Как видно падающий вектор Е₀ можно разложить на следующие

n₂

Е_{n пр} Е_пр

ε₂ μ₂ σ₂ Е_{τ 0} Е_{τ пр}

ε₁ μ₁ σ₁ Е₀ Е_{n 0}

n₁

Рис.1.2

проекции: нормальный Е_{n 0} и касательный Е_{τ 0} к границе раздела. А вектор преломленный Е_пр можно представить проекциями: нормальный – Е_{n пр} и касательный - Е_{τ пр} . Задача установления связи между проекциями векторов и есть нахождение граничных условий. Действительно, если удастся установить связь между проекциями векторов Е_{n 0} и Е_{n пр}, а также между Е_{τ 0} и Е_{τ пр}, тогда можно обосновать закон изменения вектора падающего при прохождении границы раздела, то есть его преобразования в преломленный вектор. Следовательно, необходимо обосновать граничные условия для векторов поля у границы раздела сред.

1.1.2.Граничные условия для касательных составляющих векторов поля

На рисунке 1.3 две среды с параметрами ε₁ μ₁ σ₁ и ε₂ μ₂ σ₂ разделены плоской границей раздела W . Через нормаль n₁ к поверхности W проведена плоскость T, в которой рассматривается замкнутый контур L(а₁, а₂, в₁, в₂). Этот контур L лежит в плоскости Т и образует замкнутую поверхность S. Определить граничные условия для касательных составляющих напряженности магнитного поля можно, основываясь на первом уравнении Максвелла в интегральной форме [1]

∫ Н dl = ∫ (δ + ∂D / ∂t) ds. (1.1)

^{L S}

Причем в решении данной электродинамической задачи применима только интегральная форма. Дифференциальная форма уравнений не может быть использована на основании того, что граница раздела есть граница разрыва непрерывности функций, описывающих как среду, так и поле.

dl T

а₁ n₁ S в₁ W

τ

а в

а₂ в₂

Рис.1.3

Стягивая контур L к линии ав, являющейся конечным отрезком от пересечения поверхностей W и Т, в решении интеграла (1.1) получим

[(Н₂ – Н₁) х n₁] = δ_s или Н_{τ 2} - Н_{τ 1} = δ_s. (1.2)

Физический смысл полученного выражения (1.2) следующий:

• δ_s – поверхностный ток при большой проводимости второй среды;

• при идеальной проводимости Н₂ = 0, тогда [Н₁ х n₁] = δ_s ; (1.3)

• при диэлектрических средах плотность поверхностного тока равна нулю и граничное условие принимает вид

[(Н₂ – Н₁) х n₁] = 0 (1.4)

или Н_{τ 2} - Η_{τ 1} = 0 . (1.5)

Таким образом, на основании граничного условия (1.5) касательные составляющие напряженности магнитного поля на границе раздела двух сред не претерпевают разрыва, если ни одна из сред не является идеальным проводником.

Воспользовавшись вторым уравнением Максвелла в интегральной форме и применив его по аналогии к рисунку 1.3, граничные условия для касательных составляющих напряженности электрического поля имеют вид

Е_{τ 2} - Е_{τ 1} = 0. (1.6)

Таким образом, касательные составляющие напряженности электрического поля на границе раздела двух сред не претерпевают разрыва.

1.1.3. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля

Методически выделяется в граничащих средах (рис.1.4) произвольный цилиндрический объем V так, чтобы основания цилиндра площадью S₁ и S₂ располагались по обе стороны от границы раздела. На границе раздела, цилиндр образует поверхность S₁₂. Далее используется третье уравнение Максвелла в интегральной форме для рассмотрения выделенного объема V [1-6].

∫ D ds = ∫ ρ dv. (1.7)

^{S V}

S _бок

s₁

V

n S

s₁₂

s₂

Рис.1.4

Затем уменьшается высота цилиндра так чтобы его основания S₁ и S₂ в пределе совместились бы с площадкой S₁₂ на границе раздела, это позволит получить граничные условия для нормальных составляющих вектора электрического смещения D_{n 1} - D_{n 2} = ρ_s . (1.8)

Таким образом, нормальная составляющая вектора электрического смещения на границе раздела двух сред изменяется на величину, равную поверхностной плотности заряда, размещенного на этой поверхности. При отсутствии поверхностных зарядов граничные условия показывают на непрерывность нормальной составляющей электрического смещения

D_{n 1} - D_{n 2} = 0. (1.9)

Если принимается за исходное решение четвертое уравнение Максвелла, то получается аналогично нормальный вектор магнитной индукции

В_{n 1} - B_{n 2} = 0. (1.10)

Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред не претерпевает разрыва.

1.2. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

В реальных условиях распространение электромагнитных волн через границу раздела сред сопровождается преломлением и отражением энергии поля. При этом важным является определение пространственной ориентации векторов, то есть установление их амплитуды и фазы в любой точке пространства, а также направления распространения волны преломленной и отраженной в зависимости от направления падающей [1-6].

Установленные в электродинамике законы полностью описывают особенности распространения электромагнитной волны на границе раздела сред. К ним относятся:

- законы Снеллиуса, которые устанавливают связь между направлениями падающей, отраженной и преломленной волн;

- законы Френеля, которые устанавливают связь между амплитудой и фазой падающей волны и амплитудами и фазами отраженной и преломленной волн.

1.2.1. Законы Снеллиуса

На плоскую границу раздела двух сред (рис.1.5) падает плоская электромагнитная волна, направление распространения которой определяется углом θ₀. Направление распространения отраженной волны определяется углом θ₁, а направление распространения преломленной волны определяется углом θ₂.

n₁

_{Падающая Отраженная}

θ ₀ θ ₁

ε₁ μ₁ σ₁

ε₂ μ₂ σ₂

θ₂

_{Преломленная}

n ₂

Рис.1.5

На основании рисунка 1.5 законы Снеллиуса имеют простой физический смысл

- угол падения θ₀ равен углу отражения θ₁ sinθ₀ = sinθ₁; (1.11) - отношение синуса угла преломления θ₂ к синусу угла падения θ₀ равно

отношению волнового числа первой среды К₁ к волновому числу второй

среды К₂ и, следовательно, зависит от параметров среды

sin θ₂ / sin θ₀ = к₁ / к₂ = √[ε₁ μ₁ / ε₂ μ₂] . (1.12)

Выражения (1.11) и (1.12) являются математической формулировкой законов Снеллиуса. Важной особенностью законов, описывающих явления отражения и преломления, является то, что соотношения между углами падения, отражения и преломления не зависят от поляризации падающей волны.

1.2.2. Законы Френеля

При определении коэффициентов Френеля, устанавливающих законы изменения амплитуды и фазы векторов поля у границы раздела сред, важным параметром является поляризация плоской волны у границы. Как было определено ранее, поляризация векторов для рассмотрения может быть параллельной, или нормальной и связана с плоскостью падения.

Случай параллельно поляризованной волны

Целесообразно рассмотреть случай, когда вектор напряженности электрического поля Е₀ падающей волны лежит в плоскости падения S_пад (или параллелен плоскости падения), такая волна называется параллельно поляризованной (или вертикально поляризованной). Взаимное расположение векторов поля в падающей, отраженной и преломленной волнах, относительно плоскости раздела S_раз, показано на рисунке 1.6.

S_пад

Е₀

Н₀

П₁ Е₁ П₂

1 среда

n₁ Н₁

θ₀ θ₁

S_раз.

θ₂

Е₂

П₂

Н₂

n ₂

2 среда

Рис.1.6

Множители, связывающие напряженность поля отраженной и преломленной волн с напряженностью поля параллельно поляризованной падающей волны, называются коэффициентами Френеля:

Р_|| = Е₁ / Е₀ = [Z₁ cosθ₀ – Ζ₂cosθ₂] / [Z₁cosθ₀ + Z₂ cosθ₂]; (1.13)

N_|| = Е₂ / Е₀ = [ 2Z₂ cosθ₀] / [Z₁cosθ₀ + Z₂cosθ₂] , (1.14)

где - Р_|| коэффициент отражения Френеля;

- N_|| коэффициент преломления Френеля.

Случай нормально поляризованной волны

При нормальной поляризации вектор напряженности электрического поля Е₀ падающей волны перпендикулярен плоскости падения S_пад. Такая волна называется нормально поляризованной (или горизонтально поляризованной). Коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны следующие:

Р_┴ = Е₁ / Е₀ = [Z₂ cosθ₀ - Z₁ cosθ₂] / [Z₂ cosθ₀ + Z₁ cosθ₂] ; (1.15)

N_┴ = Е₂ / Е₀ = [ 2Z₂ cosθ₀] / [Z₂ cosθ₀ + Z₁ cosθ] , (1.16)

где - Р_┴ коэффициент отражения Френеля;

- N_┴ коэффициент преломления Френеля;

- cosθ₂ = √[ 1 – (к²₁ / к²₂) sin²θ₀] выражение получено из второго закона Снеллиуса;

- Z₁ и Z₂ есть волновые сопротивления первой и второй сред.

1.3. УСЛОВИЕ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

1.3.1. Граница раздела сред диэлектрик – диэлектрик

Если на плоскую границу раздела двух сред, состоящих из диэлектриков, падает плоская волна, то угол преломления θ₂, исходя из выражения (1.12), определится

sin θ₂ = (sinθ₀) · √ ε₁ / ε₂ , (1.17)

где μ₁ = μ₂ = μ₀ и к₁ / к₂ = ε₁ / ε₂ .

Следовательно, угол преломления θ₂ зависит от угла падения распространяющейся волны и от отношения диэлектрических параметров сред.

Условие полного отражения

Полное отражение от границы раздела сред имеет место в том случае, когда волна во вторую среду не попадает, а скользит вдоль границы раздела. В этом случае угол преломления θ₂ = π/2 (рис.1.5) и sinθ₂ = 1. Если подставить значение синуса в выражение (1.17), то можно определить при каких углах падения θ_0, будет иметь место явление полного отражения

sinθ₀ = √ ε₂ / ε₁ , (1.18)

или θ₀ = αrc sin[√ε₂ / ε₁]. (1.19)

Из анализа выражения (1.19) следует, что:

• при всех углах падения θ_пад, превышающих полученное условие полного отражения θ₀ (1.19), имеет место явление полного отражения, то есть θ_пад ≥ θ₀;

• угол θ₂ будет иметь вещественное значение, если под корнем отношение диэлектрических свойств сред будет меньше или равно единицы, так как из выражения (1.18) следует, что

sinθ₀ = (√ε₂ / ε₁) ≤ 1; (1.20)

• из условия (1.20) вытекает, если ε₂ / ε₁ ≤ 1, то ε₂ ≤ ε₁ , откуда обосновано необходимое условие, чтобы первая среда была более плотной, по диэлектрическим свойствам, чем вторая среда;

• однако, когда вторая среда электрически более плотная, чем первая (ε₂ ≥ε₁), тогда угол θ₂ будет иметь невещественный характер (мнимое значение).

Для установления условия полного преломления плоской падающей волны на плоской границе раздела двух сред нужно исследовать амплитудные изменения коэффициентов отражения, которые зависят от угла падения θ₀. Коэффициенты отражения можно представить комплексными выражениями

Р_|| = | Р_|| | · е ^{– jφ};

Р_┴ = | Р_┴| · е ^{– jψ} , (1.21)

где - | Р_|| | и | Р_┴| есть модули коэффициентов отражения для параллельно и нормально поляризованных падающих волн;

- φ и ψ есть аргументы коэффициентов отражения для параллельно и

нормально поляризованных падающих волн соответственно.

Аргумент коэффициента отражения показывает изменение фазы напряженности электрического поля в процессе отражения. На рисунке 1.7 изображены графики зависимости модулей и аргументов коэффициентов отражения от границы раздела двух диэлектриков при условии ε₂ > ε₁ для нормальной и параллельной поляризации [1].

| Р_|| |, | Р_┴|.

ε₂ > ε₁

1,0

0,8

0,6 | Р_┴|

5ε₁ = ε₂

0,4

2ε₁ = ε₂ |Р_|| |

0,2

θ₀

0 10⁰ 30⁰ 50⁰ 70⁰ 90⁰

θ¹₀ θ¹₀

φ, ψ

φ

ψ ψ

θ₀

0 10⁰ 30⁰ 50⁰ θ¹₀ θ¹₀ 90⁰

Рис. 1.7

На рисунке 1.7 видно, что модуль коэффициента отражения нормально поляризованной волны | Р_┴| с увеличением угла падения θ₀ от нуля до 90⁰ монотонно растет до значения равного единице. При угле падения θ₀ = 90⁰ наступает полное отражение от границы раздела независимо от поляризации волны и соотношения диэлектрических проницаемостей. Модуль коэффициента отражения параллельно поляризованной волны | Р_|| | с увеличением угла падения θ₀ сначала убывает до нуля, достигая этого значения при угле θ¹₀ , а при дальнейшем увеличении угла падения модуль коэффициента отражения монотонно увеличивается от нуля до единицы. Значение угла θ₀ = θ¹₀ называется углом падения, при котором происходит полное преломление, этот угол θ¹₀ называется углом БРЮСТЕРА. Величину угла Брюстера θ¹₀ можно определить, приравняв числитель коэффициента отражения в выражении (1.13) равным нулю

tg θ¹₀ = √ (ε₂ / ε₁). (1.22)

Далее анализируется условие, когда ε₁ > ε₂. Графики зависимости модулей и аргументов коэффициентов отражения от границы раздела двух диэлектриков при различных соотношениях диэлектрических проницаемостей и для различной поляризации приведены на рисунке 1.8.

|P_|| |, |P_┴|.

ε₁ / ε₂ = 2

ε₁ / ε₂ = 5

1.0

|P_┴| |P_|||

0.4

0 10 30 70 90 θ₀

φ,ψ φ ε₁/ε₂ = 5 ε₁/ε₂ = 2

180⁰

120⁰

60⁰

ψ θ₀

0 10 θ¹₀ 30 θ¹₀ 70 90

Рис. 1.8

На основании рисунка 1.8 можно только подтвердить выводы, сделанные ранее по рисунку 1.6. Поскольку явление полного преломления имеет место, если волна поляризована в плоскости падения, то оно может быть использовано для выделения в отраженном луче волн, поляризованных нормально. Рассматривая характер коэффициента отражения вертикально поляризованной волны, видим, что при переходе через угол Брюстера в отраженной волне происходит скачек фазы на 180⁰ , а модуль увеличивается до единицы.

В случае ε₁ > ε₂ при увеличении угла падения фаза отраженной волны изменяется сравнительно плавно от 0⁰ до 180⁰. При этом, как видно из рисунка 8.8, аргументы коэффициентов отражения для различной поляризации не равны. Поэтому при падении на границу раздела под углом θ₀ > θ¹₀ волны с произвольной ориентацией вектора отраженная результирующая волна будет иметь эллиптическую поляризацию.