4.2.Условия распространения электромагнитных волн в линиях передачи

Пусть существует бесконечная, однородная направляющая система, ориентированная вдоль оси Z. В системе распространяется электромагнитная волна с гармоническим законом изменения амплитуд векторов поля. Если сторонние источники отсутствуют, то распространение поля вдоль оси Z будет иметь вид плоской волны Е = Е₀ е ^{– j βz}, Н = Н₀ е ^{– j βz}, (4.5)

где β – коэффициент распространения вдоль оси Z.

При этом коэффициент распространения для направляющей системы имеет вид к² = β² + γ²_┴, (4.6)

где γ_┴ - коэффициент распространения в поперечной плоскости линии передачи, который из выражения (4.6) может быть определен

γ²_┴ = к² – β² = ω²εμ – β². (4.7)

Известные уравнения Гельмгольца с учетом выражения (4.7) запишутся в виде

²Е + (ω²εμ – β²) Е = 0;

²Н + (ω²εμ – β²) Н = 0, (4.8)

где ²= ² - ∂²/ ∂z².

Используя уравнения Максвелла и проекции векторов (поперечные и продольные), можно записать систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие векторов поля, в декартовой системе координат для любой направляющей системы

γ²_┴ Е_х = - j[β(∂Е_z/∂х) + ωμ(∂Н_z /∂у)];

γ²_┴ Е_у = - j[β(∂Е_z/∂у) - ωμ(∂Н_z /∂х)];

γ²_┴ Н_х = j[ωε(∂Е_z/∂у) - β(∂Н_z/∂х)];

γ²_┴ Н_у = - j[ωε (∂Е_z/∂х) + β(∂Н_z/∂у)]. (4.9)

Для исследования коэффициента продольного распространения β выражение (4.7) можно записать в виде β² = ω²εμ – γ²_┴ . (4.10)

Анализ выражения (4.10) позволяет обосновать следующие условия к коэффициенту продольного распространения β :

• если β величина вещественная, то γ_┴ < ω√εμ;

• если β величина мнимая, то γ_┴ > ω√εμ;

• если β = 0, то γ_┴ = ω√εμ.

Исследованиями установлено, что если β имеет мнимую величину, то распространения вдоль линии передачи не будет, и будет существовать только при действительных значениях. [4-6] Следовательно, граничным значением между наличием распространения и его отсутствием в системе будет являться третье условие. Для обоснования условия распространения, на рисунке 4.5 дана ось β значений.

_{Мнимые значения.} 0 _{Действительные значения}

β

Рис. 4.5

Исходя из рисунка 4.5 можно считать, что при β = 0 возможно определение граничной частоты (ω_гр = 2πƒ_гр), волны которой будет распространяться в линии передачи. Подставляя условие β = 0 в выражение (4.10), можно видеть, что

ω²_гр εμ = γ²_┴,

откуда 2πƒ_гр √εμ = γ_┴ .

Следовательно, граничная частота ƒ_гр, при которой возможно продольное распространение волн определится ƒ_гр = γ_┴ /2π√εμ (4.11)

или λ_гр = 2π/ γ_┴ . (4.12)

Из выражениям (4.10) и (4.12) несложно установить значение β

β = к√ 1 – (λ / λ_гр) . (4.13)

На основании выражения (4.13) следует условие распространения:

- рабочая длина волны λ в линии передачи должна быть всегда меньше граничной длины волны λ_гр λ_гр > λ ; (4.14)

- рабочая частота ƒ в линии передачи должна быть выше граничной частоты ƒ_гр (ƒ >ƒ_гр). (4.15)

Таким образом, волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую граничную частоту, определяемую формулой (4.11). Неравенства (4.14) и (4.15) называют условием распространения энергии волн в линиях передачи.