Глава 2 Дифракция электромагнитных волн

2.1.Задачи дифракции электромагнитных волн

Ранее была рассмотрена теория распространения электромагнитных волн через границу раздела двух сред. Причем, граница раздела принималась плоской и безграничной, а падающая волна – плоской. В реальных условиях при распространении волн в среде содержатся тела далеко не плоские и, естественно, не безграничные, да и волна не плоская. Появляется вторичное поле, рассеиваемое телом. Распространение электромагнитной волны в среде с посторонним телом часто характеризуется тем, что волна как бы огибает его. В физике такое явление называют ДИФРАКЦИЕЙ электромагнитных волн [6]. Однако под дифракцией понимается более широкий смысл, чем огибание. Это изменение структуры поля первичной волны при падении ее на тело или совокупность тел. Теоретическое исследование дифракционных явлений сводится к определению полного или вторичного электромагнитного поля по заданным геометрическим и электрическим параметрам тела и заданному полю первичной волны. Если тело, на котором происходит дифракция, имеет простую геометрическую форму (шар, круглый бесконечный цилиндр и др.) возможно провести строгий расчет электромагнитного поля. В большинстве случаев дифракционные задачи приходится решать приближенно. Совокупность явлений, происходящих при распространении электромагнитных волн в присутствии тел с различными электромагнитными параметрами, определяет круг электродинамических задач дифракции. Целесообразно рассмотреть несколько примеров дифракционных задач.

Идеально проводящее тело находится в зоне распространяющейся электромагнитной волны. Задача дифракции состоит в нахождении решения уравнения Максвелла вне тела, удовлетворяющего условию бесконечности распределения поля и краевым условиям Е_τ = 0 на поверхности тела.

Другим примером является тело прозрачное для электромагнитных волн, в этом случае задача дифракции сводится к решению уравнений электродинамики вне тела и внутри тела, а затем находится совместное решение при условии непрерывности на поверхности тела. Различают строгие и приближенные методы решения задач дифракции.

Строгие решения дифракционных задач удается получить только при очень простой форме граничных поверхностей. Поэтому широкое распространение получили различные приближенные методы. При этом, важную роль играют приближенные методы решения задач дифракции в случаях, когда размеры тела и радиусы кривизны его поверхности велики по сравнению с длиной волны. Эти методы можно разделить на лучевые и волновые. Лучевые включают в себя метод геометрической оптики, метод геометрической теории дифракции, позволяющий уточнить результаты метода геометрической оптики в областях тени и полутени, метод параболического уравнения. К волновым методам относится метод физической оптики (приближение Гюйгенса–Кирхгофа), метод краевых волн, позволяющий найти поправки к методу физической оптики, необходимые при наличии изломов на поверхности тел, метод построения приближенных собственных функций. Развитие вычислительной техники позволило использовать численные методы решения задач дифракции. В этих методах решение дается в виде алгоритма, на основании которого составляется программа для электронной вычислительной машины.

2.2.ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ И ЗАКОНЫ

2.2.1. Основное уравнение геометрической оптики

Пусть поле в произвольной точке М определяется только одной точкой р, принадлежащей волновой поверхности S. При перемещении поверхности S в пространстве от источника поля до точки М точки поверхности описывают определенные траектории. Совокупность этих траекторий образует семейство кривых, называемых л у ч а м и . Поэтому, рассматривая лучи, можно видеть, что законы движения волновых поверхностей в пространстве приобретают чисто геометрический смысл. Они устанавливают геометрическую связь между точками, принадлежащими различным волновым поверхностям. Чтобы сформулировать эти законы, рассмотрим поле плоской волны. Напряженность электрического поля плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид Е = Е е ^{j[ωt – к (lx + my + pz )]}, (2.1)

где - к = ω√εμ = ω/c,

- l, m, p есть направляющие косинусы нормали к волновой поверхности.

Из выражения (2.1) вытекает, что поверхность равных фаз поля в разные моменты времени определяется выражением

ωt - к ( lx + my + pz) = const. (2.2)

Следовательно, положение волновых поверхностей в поле плоской волны для любого момента времени может быть найдено непосредственно из уравнения (2.2) без учета соотношений волновой теории.

Пусть проекции векторов поля на оси прямоугольной системы координат в общем случае имеют вид, аналогичный проекциям векторов поля плоской волны. При этом, любая из указанных проекций вектора Е равна

Е = Е₀ ( x, y, z ) е ^{j[ωt – к L(x,y,z)]} , (2.3)

где L (x,y,z) есть функция пространственных координат.

В этом случае поверхности равных фаз поля в различные моменты времени будут также определяться уравнением, имеющим чисто геометрический смысл

ωt - кL(x,y,z) = const. (2.4)

Если среда, в которой происходит распространение, однородна [скорость распространения ν(xyz) = const], уравнение (2.4) преобразится в уравнение

L(x¸y¸z) = const, (2.5)

и окончательно равенство (2.4) примет вид

ωt - (ω/c) n L(x¸y¸z) = const¸ (2.6)

где - n = с / ν – показатель преломления среды;

- с – скорость света.

Откуда следует, что поверхность равных фаз волны типа (2.3) в общем случае определяется уравнением L₀(x¸y¸z) = n L(x¸y¸z) = const. (2.7)

В однородной среде уравнение (2.7) для распространяющейся плоской волны

запишется L₀(x¸y¸z) = n(lx + my + pz) = соnst. (2.8)

Из выражения (2.8) следует, что расстояние между двумя поверхностями равных значений функций L₀ = L₁ и L₀ = L₁ + ΔL отсчитывается по нормали к ним, в поле плоской волны равно Δs = ΔL₀/ n или в пределе ds =dL₀/ n, откуда n = dL₀ / ds. (2.9)

Так как направление s, по которому дифференцируется функция L₀ в выражении (2.9), совпадает с направлением нормали к поверхности равных значений L₀, то dL₀ / ds = | grad L₀ |,

и получается уравнение, которому удовлетворяет функция L₀

| grad L₀ | = n¸ (2.10)

или ( ∂L₀ /∂ x)² + ( ∂ L₀ /∂y)² + ( ∂L₀ /∂z)² = n².

Функцию L(x¸y¸z) в решении (2.10) и определяющую волновые поверхности называют эйконалом, а уравнение (2.10) есть уравнение эйконала. Это основное уравнение геометрической оптики. Таким образом, при движении волны, описанной выражением (2.3), в среде с переменным показателем преломления n, форма и положение волновой поверхности в любой момент времени будут определяться уравнением (2.7).

L₂ L₃

L₁

Р₂ р₃

Р₁

Рис. 2.1

В процессе распространения волны каждый элементарный участок волновой поверхности смещается в направлении нормали к последней, то есть волновая поверхность движется вдоль луча. Поэтому характер движения волны в этом случае определяется семейством кривых или лучей (рис. 2.1) , нормальных к поверхности L₀= const.

2.2.2. Законы геометрической оптики

В основе законов геометрической оптики лежит так называемый п р и н ц и п Ф е р м а, утверждающий, что при движении волны типа (2.3) длина оптического пути между волновыми поверхностями должна быть экстремальна, т.е. она может иметь либо минимальное, либо максимальное значение. Принцип Ферма дает возможность определить форму лучей в пространстве [5,6]. Из принципа непосредственно получается важное определение:

при распространении волн в однородной среде лучи имеют характер прямых линий.

Принцип позволяет вывести законы отражения и преломления волн.

Пусть рассматривается отражение волны, источник которых находится в точке Р₁ однородной среды, от криволинейной поверхности S (рис.2.2). Согласно принципу Ферма волна из точки Р₁ должна распространяться в точку Р₂ прямолинейно так, что длина оптического пути, отсчитываемая по лучам Р₁О и ОР₂, и была бы экстремальна. Условие экстремума длины оптического пути означает, что приращения этой величины при бесконечно малых отклонениях лучей от истинного их положениях должны быть равны нулю. Если приращение длины оптического пути обозначить δL, то условие экстремума будет иметь вид

δL = 0. (2.11)

Если точка О на поверхности S перемещена в бесконечно близкую точку О₁ (рис.2.2) то, на основании выражения (2.11) приращение длины оптического пути δL в этом случае должно быть равно нулю.

S

О₁

r₁ +dr₁ θ₁ О

θ

Р₁ r₁

r₂+dr₂

Р₂ r₂

Рис. 2.2

Длина оптического пути из точки Р₁ в точку Р₂, отсчитываемая по лучам Р₁О и ОР₂ , равна n( r₁ + r₂ ).

При смещении точки отражения в точку О₁ новая оптическая длина пути становится равной n [( r₁ + dr₁) + ( r₂ + dr₂ )].

Следовательно,

δL = n [(r₁ + dr₁) + (r₂ + dr₂)] - n[r₁ + r₂] = n(dr₁ + dr₂). (2.12)

В соответствии с рисунком 2.2 смещение имеет параметры: s₁ – орт, направленный по Р₁О; s₂ – орт, направленный по ОР₂; (s₁ + ds₁) – орт, направленный по Р₁О₁; (s₂ + ds₂) – орт, направленный по О₁Р₂; τ - орт, направленный по касательной к поверхности; dl - длина бесконечно малого отрезка ОО₁. После ряда преобразований выражения (2.12), с учетом введенных параметров можно получить ( s₁ - s₂) τ = 0. (2.13)

На основании рисунка 2.2 видно, что

s₁ τ = - sinθ;

s₂ τ = - sinθ₁,

откуда следует, что θ = θ₁.

Так как равенство (2.13) должно выполняться при любых направлениях единичного орта τ, проходящего через точку О, то лучи Р₁О, ОР₂ и нормаль к поверхности S в точке О должны лежать в одной плоскости.

Таким образом, при отражении волн, описываемых выражением (2.3), от поверхности S обосновано, что:

• луч падающей волны, луч отраженной волны и нормаль к поверхности S в точке падения лежат в одной плоскости;

• угол между нормалью к поверхности S и лучом падающей волны равен углу между нормалью и лучом отраженной волны.

Законы преломления волн типа выражения (2.3) на границе раздела двух сред выводятся аналогично. В этом случае приращение длины оптического пути из точки Р₁ в точку Р₂ (рис.2.3.) при смещении точки О в точку О₁ будет равно

δL = n₁ dr₁ + n₂ dr₂. (2.14)

По принципу Ферма выражение (2.14) равно нулю. Так как dr₁ = s₁ τ и dr₂ = - s₂ τ, то получается, что ( n₁ s₁ - n₂ s₂ ) τ = 0. Данное условие получается при любом направлении единичного орта τ.

Р₁ s₁ + ds₁

О₁

s₁ τ

θ

О Ψ

s₂ + ds₂

S s₂

Р₂

Рис. 2.3

Отсюда следует, что лучи Р₁О, ОР₂ и нормаль к поверхности раздела в точке О должны лежать в одной плоскости. Далее, принимая во внимание, что

s₁ τ = cos(s₁¸τ) и s₂ τ = cos(s₂¸τ),

то следует следующее равенство:

n₁·sinθ = n₂·sinΨ. (2.15)

Следовательно, в случае преломления волны описанной выражением (2.3) на границе раздела двух сред доказано, что:

• луч падающей волны, луч преломленной волны и нормаль к поверхности раздела в точке падения лежат в одной плоскости;

• угол падения и угол преломления связаны между собой соотношением (2.15).

Таким образом, любой элементарный участок поверхности равных фаз волны, описанной выражением (2.3), при распространении ведет себя как элемент волновой поверхности плоской волны.