1.3.2. Граница раздела двух сред диэлектрик – идеальный проводник

Для анализа границы целесообразно рассмотреть прежде полученные ранее выражения (1.13), (1.14), (1.15) и (1.16). Как отмечалось, волновое сопротивление идеального проводника равно нулю Z₂ = 0. Если подставить в указанных выражениях Z₂ = 0, получится

P_|| = - 1, N_|| = 0, φ = π;

P_┴ = 1, N_┴ = 0, ψ = 0. (1.23)

Причем выражение (1.23) имеет смысл при любом угле падения. Следовательно, поле во второй среде равно нулю [1].

1.3.3. Граница раздела диэлектрик – полупроводящая среда

Этот случай имеет большое практическое значение для связистов ВМФ. Почва, морская вода и ионосфера относятся к средам полупроводящим. Земля играет исключительную роль в формировании направленных свойств антенн и распространении радиоволн в атмосфере. Выражения для коэффициентов отражения и преломления электромагнитных волн, когда вторая среда является полупроводящей, получаются из формул (1.13) – (1.16) путем замены диэлектрической проницаемости ε на комплексную

ε_2к = ε₂ - j60λσ. (1.24)

Коэффициенты Френеля для отраженной волны примут вид [1-6]

Р_{|| к} = | Р_|| | е ^{– jφ} =[ε_2к cosθ₀ - √ε₁ √(ε_2к-ε₁ sin²θ₀)] / [ε_2к + √ε₁√(ε_2к- ε₁sin²θ₀)];

Р_┴к=|Р_┴| е ^–jψ =[√ε₁cosθ₀ - √(ε_2к-ε₁sin²θ₀)] / [√ε₁cosθ₀ + √(ε_2к – ε₁sin²θ₀)]. (1.25)

Комплексность коэффициентов отражения означает отличие отраженной волны от падающей не только по амплитуде, но и по фазе. К числу факторов, которые определяют теперь модуль и аргумент коэффициента отражения, относятся: вид поляризации, диэлектрическая проницаемость обеих сред, угол падения волны, длина волны или частота. Особенностью коэффициентов отражения является то, что и модуль, и аргумент изменяются относительно плавно. Угол Брюстера выражен не явно, так как модуль коэффициента отражения до нуля не доходит, а имеет только минимум, положение и уровень которого зависят от отношения σ₂ / ωε₂. Так, если отношение (σ₂ / ωε₂) << 1, то значение угла Брюстера по-прежнему определяется формулой (1.22), то есть tgθ¹₀ = √ε₂ / ε₁ ,

но если (σ₂ / ωε₂)>>1, то cosθ'₀ = √ (ωε₁ / σ₂ ) . (1.26)

Угол, при котором наблюдается наименьшее отражение волны от границы раздела с полупроводящей средой, называется ПСЕВДОБРЮСТЕРОВСКИМ.

На рисунке 1.9 показан пример угла наименьшего отражения.

Сухая почва ( σ =10²См/м, ε¹ = 4) Морская вода (σ = 4См/м, ε¹ = 80)

Р_||, Р_┴ Р_||, Р_┴

1.0 1.0

λ = 20м

λ = 20м λ = 2м

0.6 0.6

0.2 λ = 2м 0.2

θ₀ θ₀

0 30⁰ 60⁰ 90⁰ 0 30⁰ 60⁰ 90⁰

Рис.1.9

Исследования показали, что при любых углах падения распространение электромагнитной волны во второй среде происходит по нормали к поверхности раздела. Волну можно считать однородной, так как плоскости равных фаз совпадают с плоскостями равных амплитуд. Поэтому можно утверждать, что волна, прошедшая во вторую, проводящую среду, как любая однородная плоская волна, будет иметь только поперечные составляющие Е_х2, Е_у2, Н_х2 и Н_у2. Эти составляющие связаны между собой равенствами

Е_х2 = Z₂ Н_у2; Е_у2 = Z₂ Н_х2. (1.27)

Поскольку на границе раздела сред касательные составляющие векторов поля непрерывны, то можно обосновать важное соотношение

Е_τ1 = Ζ₂ Н_τ1 . (1.28)

Выражение (1.28) является приближенным граничным условием Леонтовича или импедансным условием. Приближенным это условие называют потому, что оно оказывается справедливым только для тех случаев, когда модуль комплексной диэлектрической проницаемости много больше диэлектрической проницаемости первой среды, то есть, когда выполняется неравенство

√[ (ε₂)² + (σ₂ / ω)²] >> ε₁ . (1.29)

В выражении (1.29) подкоренное выражение есть абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость ε_к2 проводящей среды. Волновое сопротивление второй среды Ζ₂ = √(μ₂ / ε _к2) , (1.30)

и, следовательно, математическое выражение приближенного граничного условия Леонтовича примет вид

Е_{τ 1} = Н_{τ 1} √(μ₂ / ε _к2) . (1.31)

Сущность приближенного граничного условия Леонтовича заключается в том, что соотношения между горизонтальными составляющими электрического и магнитного полей у границы раздела в первой среде определяются параметрами второй среды. Причем, возникающие в полупроводящей среде электромагнитные волны представляют собой плоские волны, распространяющиеся распространяющиеся вглубь среды в направлении нормали к границе раздела и испытывающие поглощение, определяемое параметрами второй среды.

1.4.ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ, ПОВЕРХНОСТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ, ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Важным для практических задач становится знание уровня поля в реальных проводящих средах (проводниках), преломленного падающей волной из первой, диэлектрической среды [12]. Ранее было установлено, что при условии (1.29) в проводнике будут возбуждаться плоские волны, уходящие в глубь проводника по нормали n к поверхности раздела. На этом основании выражения для комплексных амплитуд векторов поля в проводнике можно записать в виде

Е_{х 2} = Е_τ1 е ^{– jк n} = Е_τ1 е ^{– αn} е ^{– jβ n} ;

Н_у2 = Н_τ1 е ^{– αn} е ^{– jβ n} . (1.32)

Из выражений (1.32) видно, что по мере распространения волны в глубь проводника амплитуда ее убывает по экспоненциальному закону (е^–αn). Скорость уменьшения амплитуды определяется величиной коэффициента затухания α. У проводящих сред коэффициент затухания достигает больших величин, вследствие чего, поле затухает очень быстро и оказывается сосредоточенным лишь в тонком поверхностном слое, приведенном на рисунке 1.10. Толщину поверхностного слоя, в котором сосредоточено электромагнитное поле, принято называть глубиной проникновения поля в проводнике или СКИН-СЛОЕМ. Под глубиной проникновения понимают расстояние Δ, на котором амплитуда поля уменьшается в е = 2,718 раз по сравнению с полем на поверхности проводника. Из выражения (1.32), глубина проникновения связана с коэффициентом затухания формулой

Δ = ( 1 / α) , (1.33)

откуда

Δ = √ 2 / (ωμσ₂) . (1.34)

Отсюда видно, что глубина проникновения уменьшается с увеличением частоты ω, проводимости σ и магнитной проницаемости μ проводника.

^{Падающая волна}

^{1-я среда (диэлектрик)}

Е_τ1 ε₁ μ₁ σ₁

Е_х2 ε₂ μ₂ σ₂

Δ ^{2-я среда (проводник)}

^{Скин-слой} е ^{– αn}

n

Рис. 1.10

На основании закона Ома плотность тока равна δ = σ Е. Воспользовавшись уравнениями (1.32) можно дать описание плотности тока возбуждаемого полем в проводнике

δ_х = σ Е_τ1 е ^{– αn} е ^{– jβ n} = δ_s е ^{– αn} е ^{– jβ n} , (1.35)

где δ_s - плотность тока на поверхности проводника.

По мере удаления от поверхности проводника плотность тока убывает по экспоненциальному закону ( |δ_х | = |δ_s| е ^–αn, что соответствует закону изменения амплитуды вектора напряженности электрического поля (рис.1.10). Описанное явление получило наименование ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА.

Учитывая, что для проводников α = β, имеем

I_s = σ Е_τ1 / α(1 + j). (1.36)

Следовательно, ПОВЕРХНОСТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКА определится Z_s = (1 + j)α / σ. (1.37)

Поверхностное сопротивление имеет комплексный характер и представляется выражением Z_s = R_s + jX_s, (1.38)

а волновое сопротивление проводника

W₂ = (1 + j) √(ωμ / 2σ). (1.39)

Практическое значение явления поверхностного эффекта можно рассмотреть на двух примерах. Первый пример относится к проблеме определения глубины протекания тока по проводнику. На основании теории можно определить толщину поверхностного слоя проводника, по которому течет поверхностный ток, и снизить затраты на материал проводника, сделав его в виде трубки. Второй пример относится к проблеме глубины проникновения энергии поля в морскую среду. На основании теории также можно определить скин –слой для морской воды, который станет обоснованием глубины подводного радиоприема.

Из сравнения выражений (1.37) и (1.39) видно, что Z_s = W₂. Далее, приравнивая вещественные и мнимые части выражений(1.37) и (1.38), можно определить активную и реактивную составляющие Z_s

R _s = X _s = √(ωμ / 2σ). (1.40)

Поверхностное сопротивление Z_s¹ цилиндрического проводника можно определить по его известному радиусу R_п

Z_s¹ = Z_s / 2πR_п = (1 + j) / (2πR_п σΔ). (1.41)

Причем, применяя формулу нельзя забывать принятого ограничения на применимость приближенных граничных условий Леонтовича, что радиус кривизны поверхности R_п должен значительно превышать скин-слой Δ или R_п >> Δ . При решении же задачи о поглощении энергии поля проводником необходимо выполнение граничных условий Леонтовича. Поэтому полная комплексная мощность, поглощаемая проводником, находится интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности этого проводящего тела

Р = [(1+j) / 2σΔ] ∫ Н_{τ m} ds. (1.42)

^S

А мощность потерь, как вещественная часть полной мощности Р, определится

Р_п = [1/ (2σΔ)] ∫ Н_{τ m} ds , (1.43)

^S

где Н_{τ m} = 2 Е_{τ m} / W₂ . (1.44)

Таким образом, поверхностный эффект приводит к появлению экранирующих свойств металлических поверхностей, созданию экранов для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля.

Задание для самопроверки знаний и умения

1.Понятие о границе раздела сред в электродинамике.

2.Понятие о поляризации волн у границы раздела сред.

3.Граничные условия для касательных составляющих векторов поля.

4.Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля.

5.Законы Снеллиуса.

6.Коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны.

7.Коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны.

8.Электромагнитная волна у границы раздела диэлектрик-диэлектрик.

9.Электромагнитная волна у границы раздела диэлектрик-идеальный проводник.

10.Электромагнитная волна у границы раздела диэлектрик-полупроводящая среда.

11.Приближенные граничные условия Леонтовича.

12.Поверхностный эффект, поверхностное сопротивление.

13.Мощность потерь в проводниках.

14.На плоский медный лист достаточно больших размеров нормально падает плоская однородная волна длиной 10см. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет Е_{τ m} = 1000 В/м. Найти мощность, теряемую при нагревании 1см² поверхности листа в средней его части. (Ответ Р_п= 2· 10 ^{– 5} Вт.).

15.Определить скин-слой для рабочих частот 10Гц, 100Гц, 1000Гц, 10000Гц, 100кГц, 1МГц, 10МГц и 100МГц в морской воде (ε = 80ε₀; μ = 4π 10 ^{– 7}Гн/м и σ = 4См/м) .

16.Определить скин-слой для частот (по п.15) в меди с параметрами σ = 5,65·10 ⁷ См/м и μ = 4π10 ^–7 Гн/м.

17.Определить угол Брюстера для границы раздела сред ε₁ = ε₀ и ε₂ = 10ε₀.

18.Полагая θ₂ = 0, получить коэффициенты отражения и преломления при:

• μ₁ = μ₀, ε₁ = ε₀, μ₂ = μ₀, ε₂ = 100ε₀, θ₀ = 45⁰, поляризация нормальная;

• μ₁ = μ₀, ε₁ = ε₀, μ₂ = 10μ₀, ε₂ = 10ε₀, θ₀ = 10⁰, поляризация параллельная.