Лекция № 3 решения уравнений максвелла

УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ:

1. Дать представление о законах и методах электродинамики;

2.Показать методы решения уравнений Максвелла.

3.Дать знания основ электродинамики.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ:

1.Совершенствовать фундаментальные знания по специальности;

2.Формировать интерес и активность в изучении дисциплины.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Методы решения уравнений Максвелла;

2. Метод электродинамических потенциалов

1.Методы решения уравнений Максвелла

2. Метод электродинамических потенциалов

Решение волновых уравнений, то есть нахождение векторов поля Е и Н в окружающем источник пространстве можно получить введением вспомогательных функций, называемых ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ [1-6]. Этими функциями являются:

- электрический векторный потенциал - А;

- электрический скалярный потенциал - φ.

Взаимосвязь векторов поля и введенных функций однозначна и проста, если принять, что B = rot A, то Н = (1/ μ) rot А . (3.10)

Подставив выражение (3.10) во второе уравнение Максвелла (1.46) можно получить

∂

rot E = ─ ―― rot A,

∂ t

преобразовав ∂ А

rot ( E + —— ) = 0. (3.11)

∂ t

Полученное выражение (3.11)доказывает, что вектор ( Е + ∂А / ∂ t) потенциальный и можно найти такую скалярную функцию φ, для которой вектор является градиентом

∂ А

Е + ―― = ─ grad φ, (3.12)

∂ t

откуда несложно определить вектор Е

∂ А

Е = ─ (—— + grad φ). (3.13)

∂ t

Подставив выражение (3.10) и (3.13) в уравнения (2.9), заменив векторы Е и Н и преобразовав, можно получить волновые уравнения для векторного А и скалярного φ потенциалов

▼² А + к ² А = - μ δ;

▼² φ + к ² φ = - ρ / ε . (3.14)

Решение волновых уравнений (3.14) Даламбера можно записать в виде следующих интегралов:

1 e ^{–j к r}

φ = ―― ∫ ρ ―― dv ; (3.15)

4 π ε ^V r

μ e ^{–j к r}

А = ―― ∫ δ ―― dv . (3.16)

4 π ^V r

Получено частное решение уравнений Даламбера, которое соответствует расходящимся от источника электромагнитным полям. Важно отметить, что изменение объемных зарядов и токов сказывается в различных точках на поле в пространстве не мгновенно, а спустя некоторое время, получившее название временем запаздывания t _зап . Это время определится через расстояние r, от источника до искомой точки М(xyz) и скорость распространения волны υ, то есть t _зап = r / υ. Поэтому векторный А и скалярный φ потенциалы получили название запаздывающих потенциалов. Подставив значения потенциалов в выражения связи (3.10) и (3.13), получим значения векторов поля Е и Н.