1.3. Метод векторных комплексных амплитуд. Уравнения максвелла в комплексной форме

В разделах 1.2.6 и 1.2.7 приведены уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах записи, при этом нигде не ставился вопрос о законе, по которому меняются параметры как источника поля δ _полн, так и параметры векторов поля Е и D, Н и В. Гармонические колебания, как известно, имеют широкое применение в радиосвязи. Кроме того, многие негармонические процессы при теоретическом анализе могут быть представлены с помощью рядов или интегралов Фурье в виде суперпозиции гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических процессов электромагнитного поля полезно для практической деятельности связистов. Для анализа гармонических колебаний в электродинамике используют метод векторных комплексных амплитуд [1-6], который в радиотехнике называется символическим методом. Согласно методу, любая гармонически изменяющаяся во времени величина α(t) = А _м cos (ωt + φ), где А _м - амплитуда, ω – угловая частота и φ – начальная фаза колебаний, может быть заменена комплексной функцией

α _к (t) = А _м е ^{j ( ωt + φ)} , (1.47)

над которой совершаются последующие операции. Функция α _к(t) является мгновенным ее значением и обычно записывается в виде

α _к (t) = А _м е ^{j ( ω t + φ)} = А _м е ^jφ е ^{j ω t} = А _к е ^{j ωt} , (1.48)

где А_к - не зависящая от времени комплексная амплитуда, то есть комплексное число, модуль и аргумент которого равны амплитуде и начальной фазе вещественной функции, описывающей гармоническое колебание. Общеизвестно, что линейные операции (сложение, вычитание, дифференцирование, интегрирование и т. д.) над вещественной и мнимой частями комплексной величины производятся раздельно. Выполнение операций с комплексными величинами справедливо, если проводится с линейными соотношениями, которыми являются уравнения Максвелла. Итак, меняющееся во времени по гармоническому закону электромагнитное поле может быть представлено комплексными функциями

Е _к = Е (x,y,z) е ^{j ωt} ; Н _к = Н (x,y,z) е ^{j ωt} , (1.49)

где Е (x,y,z) и H(x,y,z) - независимые от времени комплексные функции, называемые комплексными векторными амплитудами напряженностей электрического и магнитного полей. Истинные (мгновенные) значения векторов поля, с учетом координат точки наблюдения в пространстве, при этом будут равны

Е = Rе (Е _к); Н = Rе (Н _к). (1.50)

Знак Rе означает вещественную часть функции. Выполним операции дифференцирования и интегрирования

∂ Е _к ∂ Н _к

-------- = j ω Е _к ; --------- = jω Н _к ; (1.51)

∂ t ∂ t

1 1

∫Е _к dt = ------ Е _к ; ∫Н _к dt = ------ H _{к .} (1.52)

jω jω

Используя выражения (1.51) и (1.52), несложно решать электродинамические задачи. В последующем при написании выражений будем считать, что имеем дело с векторами Е и Н, изменяющимися по гармо-ническому закону, то есть не будем пользоваться индексом «к» с векторами.

1.3.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Подставляя выражения (1.51) в систему (1.46) уравнений Максвелла в дифференциальной форме, получим систему уравнений в комплексном виде для электромагнитного поля, меняющегося во времени по гармоническому закону. Причем учитывается, что плотность тока проводимости δ имеет тот же закон

rot H = δ + jωD;

rot E = - j ω B; (1.53)

div D = ρ;

div B = 0.

Эти уравнения в последующем будут исходными при изучении теории электромагнитных полей. Наличие в первом и втором уравнениях (1.53) множителя j ω является признаком комплексности уравнений.

1.3.2. Принцип перестановочной двойственности в электродинамике

Электромагнитное поле обладает симметрией. Действительно, единое и неделимое поле состоит из двух составляющих: электрической и магнитной. Относительной симметрией обладают полученные уравнения. В электродинамике установленную симметрию используют для облегчения решения задач. Упрощение решения достигается тем, что полученные выражения для одной из составляющих автоматически получают для другой составляющей, воспользовавшись так называемым ПРИНЦИПОМ ДВОЙСТВЕННОСТИ. Этот принцип требует принятия некоторых допущений. Полагают, что источником поля также являются фиктивная плотность проводимости магнитного тока δ _м и фиктивные магнитные заряды ρ _м. В этом смысле совокупность фиктивных магнитных токов и зарядов эквивалентна совокупности реальных электрических токов и зарядов. Для расчета полей, создаваемых магнитными источниками, в уравнениях Максвелла вместо электрических токов и зарядов вводят магнитные величины. Перестановка требует одновременной замены векторов поля. Таким образом, при перестановках необходима следующая схема замены:

E ↔ Н; D ↔ − В; δ ↔ -- δ _м; ρ ↔ ─ ρ _м; ε ↔ ─ μ . (1.54)

На примере уравнений Максвелла, приведенных в системе (1.53), показана применимость принципа перестановочной двойственности. Для этого в каждом уравнении вектор Е заменить вектором Н, вектор D - вектором B, значение ε - на μ, заряд ρ - на ρ _м и δ - на δ _м . Для сравнения приведем уравнения Максвелла с электрическими и магнитными источниками.

Электрические источники: Магнитные источники:

rot H = δ + jω D ; rot E = ─ δ _м ─ jω В;

rot E = ─ j ω В; rot H = jω D;

div D = ρ; div B = ρ _м ; (1.55)

div B = 0. div D = 0.

Таким образом, рассмотренное свойство уравнений Максвелла позволяет распространять известные решения задач на класс двойственных, используя при этом перестановки.