§ 2.3. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов

Определение 1. Функция называется бесконечно малой при (или ), если (или ).

Определение 2. Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых (неопределенность ) равен пределу отношения двух других бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е.

.

Отметим также: если , то .

Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.

Первый замечательный предел

Первая группа формул эквивалентности

Вторя группа формул эквивалентности

Третья группа формул эквивалентности

,

,

Четвертая группа формул эквивалентности

,

,

Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых.

Сравнение бесконечно малых

Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Две бесконечно малые называются сравнимыми, если существует предел их отношения

При этом могут быть следующие случаи:

1. Если , то и бесконечно малые одного порядка.

2. Если , то бесконечно малая более высокого порядка, чем . Это записывается так: . Читается так: равно омалое от .

При этом, если такое, что , то говорят, что есть бесконечно малая порядка “k” относительно .

3. Если , то .

4. Как уже было сказано выше, если , то бесконечно малые называются эквивалентными : .

5. Если не существует, то и не сравнимые.

Упражнения к § 2.3

Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых.

2.111.		2.112.
2.113.		2.114.
2.115.		2.116.
2.117.		2.118.
2.119.		2.120.
2.121.		2.122.
2.123.		2.124.
2.125.		2.126.
2.127.		2.128.
2.129.		2.130.
2.131.		2.132.
2.133.		2.134.
2.135.		2.136.
2.137.		2.138.
2.139.		2.140.
2.141.
2.142.
2.143.		2.144.
2.145.		2.146.
2.147.
2.148.	2.149.
2.150.	2.151.
2.152.	2.153.
2.154.	2.155.
2.156.	2.157.
2.158.	2159.
2.160.	2.161.
2.162.	2.163.
2.164.	2.165.
2.166.	2.167.
2.168.	2.169.
2.170.	2.171.
2.172.	2.173.
2.174.

2.175. При функции и бесконечно малые. Сравните их.

2.175 (а). При сравнить бесконечно малые и .

2.176. Доказать, что при и эквивалентные бесконечно малые.

2.177. Дана функция y=x³. Доказать, что при приращения и бесконечно малые одного порядка. При каком значении x и эквивалентные?

2.178. Определить порядок малости относительно x следующих функций :

а) ,	б) ,	в) ,
г) ,	д) ,	е) .

2.179. Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых, вывести формулы для приближенных вычислений с точностью до членов второго порядка (x²)

а)	б)
в)	г)

С помощью полученных формул приближенно вычислить:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) , 6) .

2.180. Доказать эквивалентность функций (при ):

и .