Глава 2. Предел функции. Непрерывность

§ 2.1. Предел числовой последовательности

1.1. Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности: x₁ первый член, x₂второй член, ... , x_n n-ый член. Числовая последовательность обозначается так: {x_n}.

Числовую последовательность задают формулой n-го члена: x_n=f(n). Например, если

то x₁=2, , ..., и т.д.

Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: , x₁=1.

Тогда ,, и т.д.

1.2. Предел числовой последовательности

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для такое, что для всех n>N выполняется условие .

Это означает, что в любой окрестности точки а содержится бесконечное множество элементов последовательности.

:

Доказать, что означает найти зависимость

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если же предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.

1.3. Свойства передела

1. Предел линейной комбинации

.

2. Предел произведения .

3. Предел частного , если .

4. Предел отношения многочленов.

Если и многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

то предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов:

Упражнения к § 2.1

Найти пределы:

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.11.		2.12.
2.15.
2.18.
2.19. 2.20.
2.21.
2.22.
2.23.	2.24.
2.25.
2.26.
2.27. 2.28.
2.29.	2.30.
2.31.	2.32.
2.33.
2.34.
2.35.	2.36.
2.37.	2.38.
2.39.	2.40.
2.41.	2.42.
2.43.	2.44.
2.45.	2.46.
2.47.	2.48.*

2.49.^*

2.50.^*

2.51.^*

2.52.^*

Доказать (найти зависимость

2.53. 2.54.

2.55. 2.56.

2.57.

Найти пределы последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями.

2.58. , где n = 1, 2, ...

2.59. ,

2.60. , где (a>0).