- •Содержание
- •Предисловие
- •Глава 1. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •§1. Семинарские занятия Семинар №1
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар №2 Точка и прямая на плоскости. Окружность.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 3 Кривые второго порядка.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 4 Векторная алгебра.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 5 Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 6 Матрицы. Действия над матрицами.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 7 Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 2. Примерное содержание рейтинговых контрольных работ в первом семестре
- •§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
- •Некоторые функции, примыкающие к элементарным
- •Глава 2. Предел функции. Непрерывность
- •§ 2.1. Предел числовой последовательности
- •1.1. Определение числовой последовательности
- •1.2. Предел числовой последовательности
- •1.3. Свойства передела
- •Упражнения к § 2.1
- •§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
- •1. Определение предела функции
- •2. Свойства предела функции
- •3. Методы вычисления предела функции
- •5. Неопределенность .
- •Упражнения к § 2.2
- •§ 2.3. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов
- •§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции
- •2. Понятие о точках разрыва и их классификация
- •2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)
- •3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)
- •3. Об асимптотах графика функции
- •§ 2.5. Производная. Дифференцирование функций
- •1. Производные функций, заданных явно
- •Упражнения к § 2.5
- •2. Производные высших порядков явных функций
- •3. Производные функций, заданных параметрически
- •4. Производные функций, заданных неявно
- •§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
- •1. Неопределенности и .
- •2. Другие неопределенности
- •Упражнения к § 2.6
- •§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции
- •Упражнения к § 2.7
- •Ответы к главе 2
- •Литература
§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
Если данную функцию можно представить в виде суммы элементарных функций, то график можно построить методом сложения графиков слагаемых функций.
Пример 1. Построить график функции.
Решение. Представим функцию в виде суммы .Строим графики слагаемых функций .
На рис.2 они изображены пунктирными линиями.
Графики функций и пересекаются в одной точке (1; 1). Так как при , то и и, следовательно, при график данной функции расположен ниже графиков слагаемых функций. При и, следовательно, график данной функции расположен между
прямой и гиперболой . График пересекает
ось OX в точке (1;0). При график асимптотически приближается к прямой. При (справа) график приближается к ветви гиперболе . При (слева) график приближается к вертикальной асимптоте и ветви гиперболы, оставаясь между ними. При график приближается к прямой.
Методом сложения графиков построим графики гиперболических функций.
Пример 2. Гиперболический синус .
Решение. Имеем: .
нечетная функция. Shx принимает любые значения, причем sh0 =0 (рис.3).
Пример 3. Гиперболический косинус .
Решение. Имеем: . Т.к. , то и, следовательно,
четная функция (рис.4).
Пример 4. Гиперболический тангенс .
Решение. Имеем: .
, нечетная функция.
Т ак как , то . . Следовательно, y = 1 и y = 1 – горизонтальные асимптоты (рис.5).
Пример 5. Гиперболический котангенс y = cthx.
Решение. Имеем:.
.
О чевидно, нечетная функция. y = 1 и y = 1 – горизонтальные асимптоты, x = 0 вертикальная асимптоты. График представлен на рис.6.
Отметим формулы, связывающие гиперболические функции
Некоторые функции, примыкающие к элементарным
1. Функция сигнум (знак)
у
1
0 х
-1
Рис. 7
2. Целая часть числа (антье): . Это наибольшее целое число, не большее данного (рис 8). Отметим, что , т.к. 2,34 = 2 + 0,34, ,
т .к. –2,34 = - 3 + 0,66.
3. Дробная часть числа (рис 9.). Напомним, что дробная часть числа есть неотрицательное число, меньшее единицы:
, , .
Дробная часть – периодическая функция с периодом Т = 1.Очевидно, что .
Упражнения к § 3
Построить графики функций
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10.
3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16.
3.17. 3.18.
3.19. 3.20.
3.21. 3.22.
3.23. 3.24.
3.25. 3.26.
3.2.7. 3.28.
3.29. 3.30.
3.31. 3.32.
3.33. 3.34.
3.35. 3.36.
3.37. 3.38.
3.39. 3.40.
3.41. 3.42.
3.43. 3.44.
3.45. 3.46.
3.47. 3.48.
3.49. 3.50.
3.51. 3.52.
3.53. 3.54.
3.55. 3.56.
3.57. 3.58.
3.59. 3.60.
3.61. | x – y | + | x + y | = 1, 3.62. | x + 2y | + | x – 2y | = 2.
3.63. y = { x – 1/3} , 3.64. y = { 3 – x/2 } .
3.65. min ( x, y ) = 1, 3.66. max ( x, y ) = 1.
3.67. min ( x2, y ) = 1, 3.68. max ( | x |, | y | ) = 1.
3.69. min ( x, y3) = 1, 3.70. max ( x + y, x - y) = 1.