- •Содержание
- •Предисловие
- •Глава 1. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •§1. Семинарские занятия Семинар №1
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар №2 Точка и прямая на плоскости. Окружность.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 3 Кривые второго порядка.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 4 Векторная алгебра.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 5 Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 6 Матрицы. Действия над матрицами.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 7 Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 2. Примерное содержание рейтинговых контрольных работ в первом семестре
- •§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
- •Некоторые функции, примыкающие к элементарным
- •Глава 2. Предел функции. Непрерывность
- •§ 2.1. Предел числовой последовательности
- •1.1. Определение числовой последовательности
- •1.2. Предел числовой последовательности
- •1.3. Свойства передела
- •Упражнения к § 2.1
- •§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
- •1. Определение предела функции
- •2. Свойства предела функции
- •3. Методы вычисления предела функции
- •5. Неопределенность .
- •Упражнения к § 2.2
- •§ 2.3. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов
- •§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции
- •2. Понятие о точках разрыва и их классификация
- •2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)
- •3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)
- •3. Об асимптотах графика функции
- •§ 2.5. Производная. Дифференцирование функций
- •1. Производные функций, заданных явно
- •Упражнения к § 2.5
- •2. Производные высших порядков явных функций
- •3. Производные функций, заданных параметрически
- •4. Производные функций, заданных неявно
- •§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
- •1. Неопределенности и .
- •2. Другие неопределенности
- •Упражнения к § 2.6
- •§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции
- •Упражнения к § 2.7
- •Ответы к главе 2
- •Литература
§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
1. Определение предела функции
1) Число а называется пределом функции при , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство . Пишут так: .
2) Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (слева), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .
3) Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (справа), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .
4) Односторонние пределы удобно обозначать так:
.
Необходимое и достаточное условие существования предела с помощью односторонних пределов можно записать так:
.
5) Предел на бесконечности (при ).
Число a называется пределом функции f (x) при (или , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .
2. Свойства предела функции
1. Предел линейной комбинации
.
2. Предел произведения .
-
Предел частного
,
если пределы существуют и .
3. Методы вычисления предела функции
Нахождение предела функции следует начинать с вычисления значения функции в точке x0. Если f(x0) равно конечному числу или , то предел найден. Здесь полезно пользоваться следующими символическими
равенствами:, , ,
при a>1 , .
1.Неопределенность (в случае отношения многочленов рассматривалась в §1. Напомним еще раз:
(n,m >0)
2. Неопределенность .
Случай отношения многочленов.
Если , то Pn(x) и Qn(x) делятся на xx0. Можно числитель Pn(x) и знаменатель Qm(x) разделить на (xx0) или многочлены разложить на множители и сократить нулевой множитель xx0.
3. Неопределенность .
Случай отношения иррациональных выражений.
В этом случае, как правило, стараются избавиться от иррациональности и после чего сокращают нулевой множитель xx0.
4. Неопределенность () следует преобразовать в
неопределенность .
5. Неопределенность .
Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а под переменная, стремящаяся к .
Известен второй замечательный предел
или ,
где е иррациональное число , основание натурального логарифма .
Более удобным при вычислении неопределенности являются следствия из второго замечательного предела:
, .
Упражнения к § 2.2
Найти пределы
2.61.
|
2.62. |
||
2.63.
|
2.64. |
||
2.65.
|
2.66. |
||
2.67.
|
2.68. |
||
2.69.
|
2.70. |
||
2.71.
|
2.72. |
||
2.73.
|
2.74. |
||
|
|||
2.76.
|
|
||
2.77.
|
|
||
2.78.
|
|
||
2.79.
|
2.80. |
||
2.81. |
2.82. |
||
2.83.
|
2.84. |
||
2.85. |
2.86. |
||
2.87.
|
2.88. |
||
2.89.
|
2.90. |
||
291.
|
2.92.* |
||
2.93.* |
2.94.*
|
||
2.95.
|
2.96. |
||
2.97. |
2.98.
|
||
2.99. |
2.100.
|
||
2.101. |
2.102.
|
||
2.103. |
2.104.
|
||
2.105. |
2.106.
|
||
2.107. |
2.108.
|
||
2.109. |
2.110.
|