4. Производные функций, заданных неявно

Пусть функция задана неявно (1)

и функция от х.

Для нахождения первой производной следует равенство (1) продифференцировать по х и полученное равенство решить как уравнение относительно или можно воспользоваться формулой .

Найти и для неявно заданных функций(61 – 64):

2.287. . 2.288. .

2.289. 2.290. .

2.291. . Найти .

§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

1. Неопределенности и .

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует.

Буква над знаком равенства означает, что для вычисления предела применяется правило Лопиталя. В этих формулах х может стремиться и к бесконечности . Если после применения правила Лопиталя неопределенность или сохраняется, то следует применить еще раз правило Лопиталя.

2. Другие неопределенности

а) Неопределенность приводится к виду с помощью равенства или к виду с

помощью равенства .

б) Неопределенность приводят с помощью преобразования к виду , если . Если же , то предел равен (или ).

в) Неопределенности или приводятся к вышерассмотренным с помощью преобразования:

Неопределенность также можно раскрывать с помощью последнего преобразования, но лучше пользоваться формулами, приведенными в §2.

Упражнения к § 2.6

Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти пределы.

2.292.	2.293.
2.294.	2.295.
2.296.	2.297.
2.298.
2.299.
2.300.	2.301.
2.302.	2.303.
2.304.	2.305.
2.306.	2.307.
2.308.	2.309.
2.310.	2.311.
2.312.	2.313.
2.314.	2.315
2.316	2.317.

§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции

Формула Тейлора позволяет данную функцию представить в виде многочлена по степеням х, имеющего счетное число слагаемых (ряда)

или многочлена по степеням :

.

При для (4.1.) или для (4.2.) эти равенства можно записать так: , или так: , где через обозначается бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

остаток формулы Тейлора.

Формулы Тейлора часто применяют для приближенного вычисления значений функции и указывает степень точности вычисления.

Формулы Тейлора для основных элементарных функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

10.

11.

12.

Следует помнить, что применять формулы можно для функции только в случае, если при .