- •Содержание
- •Предисловие
- •Глава 1. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •§1. Семинарские занятия Семинар №1
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар №2 Точка и прямая на плоскости. Окружность.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 3 Кривые второго порядка.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 4 Векторная алгебра.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 5 Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 6 Матрицы. Действия над матрицами.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 7 Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 2. Примерное содержание рейтинговых контрольных работ в первом семестре
- •§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
- •Некоторые функции, примыкающие к элементарным
- •Глава 2. Предел функции. Непрерывность
- •§ 2.1. Предел числовой последовательности
- •1.1. Определение числовой последовательности
- •1.2. Предел числовой последовательности
- •1.3. Свойства передела
- •Упражнения к § 2.1
- •§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
- •1. Определение предела функции
- •2. Свойства предела функции
- •3. Методы вычисления предела функции
- •5. Неопределенность .
- •Упражнения к § 2.2
- •§ 2.3. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов
- •§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции
- •2. Понятие о точках разрыва и их классификация
- •2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)
- •3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)
- •3. Об асимптотах графика функции
- •§ 2.5. Производная. Дифференцирование функций
- •1. Производные функций, заданных явно
- •Упражнения к § 2.5
- •2. Производные высших порядков явных функций
- •3. Производные функций, заданных параметрически
- •4. Производные функций, заданных неявно
- •§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
- •1. Неопределенности и .
- •2. Другие неопределенности
- •Упражнения к § 2.6
- •§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции
- •Упражнения к § 2.7
- •Ответы к главе 2
- •Литература
§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции
1. Непрерывность функции (определения)
1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если предел в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е.
2. На языке это означает: для такое, что неравенство выполняется для всех х, для которых верно неравенство
3. Если и , то f(x) непрерывна в точке x0, если , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
4. На практике удобно пользоваться следующим критерием. Для непрерывности функции y=f(x) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы
1) , т.е. существовало значение f ( x0);
2) существовали односторонние пределы и ;
3) все эти три числа равны между собой, т.е.
2. Понятие о точках разрыва и их классификация
Различают три типа точек разрыва.
1) Точки устранимого разрыва
Односторонние пределы существуют и равны между собой, но не совпадают со значением функции или значение функции не существует, т.е.
.
2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)
Односторонние пределы конечные, но не равные ,
называется скачком функции в точке х0.
3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)
Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то х0точка разрыва 2-го рода. Все вышесказанное относится к точке х0, не являющейся границей области определения функции. Если х0 граница области определения, то в этой точке рассматривается односторонняя непрерывность.
3. Об асимптотах графика функции
Напомним, что асимптота прямая линия, к которой бесконечно приближается график функции при удалении в бесконечность, т.е. асимптота, как бы касательная, для которой точкой касания является бесконечно удаленная точка.
Вертикальная асимптота
Известно, что если , то вертикальная асимптота. Следовательно, каждой точке бесконечного разрыва соответствует вертикальная асимптота. Если оба односторонних предела равны бесконечности, то асимптоту будем называть двусторонней; если же только один односторонний предел равен , то асимптоту будем называть односторонней.
Горизонтальная асимптота
Если , то горизонтальная асимптота. При этом, если , то будем считать двусторонней асимптотой, а если или , то будем считать односторонней (правой или левой) асимптотой.
Наклонная асимптота
Параметры (k,b) наклонной асимптоты, если она существует,
определяются по формулам: , .
И здесь, в зависимости от того, существуют ли рассмотренные пределы при или функция может иметь одну или две асимптоты (левую и правую).
Упражнения к § 2.4
Исследовать на непрерывность и построить графики
функций (2.181- 2.210).
2.181. |
2.182.
|
2.183. |
2.184.
|
2.185. |
2.186.
|
2.187. |
2.188.
|
2.189. |
2.190.
|
2.191. |
2.192.
|
2.193. |
2.194.
|
2.195. |
2.196.
|
2.197. |
2.198.
|
2.199. |
2.200.
|
2.201. |
2.202.
|
2.203. |
2.204.
|
2.205. |
2.206.
|
2.207. |
2.208.
|
2.209. |
2. 210.
|
В задачах (2.211-2.220) найти точки разрыва и устранить разрыв, если это возможно.
2.211. |
2.212.
|
2.213. |
2.214. |
2.215. |
2.216. |
2.217. |
2.218.
|
2.219. |
2.220. |
В задачах (2.221-2.226) подобрать параметры так, чтобы функция была непрерывной.
2.221.
|
2.222. |
2.223. |
2.224. |
2.225. 2.226.
|