- •Содержание
- •Предисловие
- •Глава 1. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •§1. Семинарские занятия Семинар №1
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар №2 Точка и прямая на плоскости. Окружность.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 3 Кривые второго порядка.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 4 Векторная алгебра.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 5 Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для решения на семинаре
- •Семинар № 6 Матрицы. Действия над матрицами.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Семинар № 7 Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для решения на семинаре
- •Задачи для самостоятельной работы
- •§ 2. Примерное содержание рейтинговых контрольных работ в первом семестре
- •§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
- •Некоторые функции, примыкающие к элементарным
- •Глава 2. Предел функции. Непрерывность
- •§ 2.1. Предел числовой последовательности
- •1.1. Определение числовой последовательности
- •1.2. Предел числовой последовательности
- •1.3. Свойства передела
- •Упражнения к § 2.1
- •§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела
- •1. Определение предела функции
- •2. Свойства предела функции
- •3. Методы вычисления предела функции
- •5. Неопределенность .
- •Упражнения к § 2.2
- •§ 2.3. Эквивалентные бесконечно малые. Применение эквивалентности при вычислении пределов
- •§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции
- •2. Понятие о точках разрыва и их классификация
- •2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)
- •3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)
- •3. Об асимптотах графика функции
- •§ 2.5. Производная. Дифференцирование функций
- •1. Производные функций, заданных явно
- •Упражнения к § 2.5
- •2. Производные высших порядков явных функций
- •3. Производные функций, заданных параметрически
- •4. Производные функций, заданных неявно
- •§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
- •1. Неопределенности и .
- •2. Другие неопределенности
- •Упражнения к § 2.6
- •§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции
- •Упражнения к § 2.7
- •Ответы к главе 2
- •Литература
Упражнения к § 2.7
Используя формулу Тейлора, найти пределы.
2.318. |
2.319. |
2.320. |
2.321. |
2.322. |
2.323. |
2.324. |
2.325. |
2.326. |
2.327. |
2.328. |
2.329. |
2.330. |
2.331. |
Ответы
Ответы к гл. 1
Семинар №1
1. a) 31 , b) 0 , c) , d) 4, -5. 2. a) 38, b) -16, c) 0, d) 0, e) 24, f )368. 3. a) - 85 , b) 27. 4. a) , b)
5. . 6. a) -26 , b) 0 , c) , d) 2, -3.
7. a) 55, b) 44 , c) 0, d )0, e) -90, f ) -48. 8. a) -16 , b) – 848.
9. a) , b) . 10.
Семинар №2
1.
2. а) ; б) 3.
4. 1) 10, 2) ,
4) 5)
5. а) , б) , в) .
6.. 7. .
8. 9. 10. а) ; б)
11..
12. а) , б) , в) .
13. 14.
15.
Семинар №3
1. . 2. .
3. .
4. ,
.
5. . 6. . 7. .
8.
9. 10.. 11. .
12. ,
.
13. . 14. .
15.
16.
Семинар №4
1. . 2. , .
3. 6 или -6. 4.
5. 6. или .
7. . 8. Х = -1, У = 1.
9. 1) 13, 2) 5. 10. 10. 11. 1) , 2) 14.
12. .
13. 1) компланарные, 2) левая тройка. 14. 3.
15. 1) нет, 2) да.
Семинар №5
1. 1),
2)
3. 1), 2) , 3) .
4. . 5.
6. или . 7. . 8. 2. 9. 11.
10. 1) , 2) ,
3)
11. 1) , 2) параллельны.
12. . 13 .
Семинар №6
1. .
2. 1), 2) , 3), 4).
3. .
4.1) , 2).
5. 1) 2) . 6. .
7. 1), 2) , 3),
4).
8.. 9. 1) , 2). 10. 1) 2) .
Семинар№7
1. а) 2, б) 2, в) 3.
2. 1) если определитель матрицы не равен нулю, 2) если ранг матрицы, составленный из координат векторов равен п .
3. 1) линейно зависимая , 2) линейно независимы.
4. 1) , 2) система не совместна.
5. .
6. Если свободные переменные , то ФСР имеет вид:
Общее решение .
7. а )2, б) 3, в) 2.
8. 1) линейно независимы., 2)линейно зависимая
9. 1) система не совместна, 2) .
10. .
11. Если свободные переменные , то ФСР имеет вид:
Общее решение .
Ответы к главе 2
2.1. 2/3, 2.2. 24/9, 2.3. , 2.4. 0, 2.5. 0, 2.6. , 2.7. 17/30,
2.8. 13/8, 2.9. 1/4, 2.10. -1/2 2.11. . 2.12. 0, 2.13. 3/2, 2.14. 2, 2.15. 4/3, 2.16. 4/3, 2.17. 0, 2.18. 1, 2.19. 5/7, 2.20. 9/5, 2.21. 5/3, 2.22. 5/4, 2.23. , 2.24. , 2.25. 16/3, 2.26. 9/2, 2.27. 20, 2.28. -1/25, 2.29. 1, 2.30. 1/3, 2.31. 1, 2.32. 1, 2.33. 1, 2.34. 3, 2.35. 5/4, 2.36. 20/9, 2.37. 3/4, 2.38. 7/2, 2.39. 3/2, 2.40. , 2.41. 5/2, 2.42. 0, 2.43.1/2, 2.44. , 2.45. 1, 2.46. 1/4, 2.47. 2/3, 2.48. 2, 2.49. 23/90, 2.50. 1/4,
2.51. 1/8, 2.52. /4, 2.53. , 2.54. ,
2.55. , 2.56. , если ; если же , то N=0; 2.57. , 2.58. ,
2.59. , 2.60. , 2.61. -8/5, 2.62. 0.2, 2.63. 0,
2.64. 0, 2.65., 2.66. , 2.67. 0, 2.68. 0, 2.69. 8/3, 2.70. 2, 2.71., 2.72. 0, 2.73. 1/2, 2.74. 1/4, 2.75. , 2.76. 0, 2.77. 400,
2.78. 145/1024, 2.79. 49/24, 2.80. n(n+1)/2, 2.81. m/n, 2.82. 19/9, 2.83. 21, 2.84. n(n+1)/2, 2.85. 1/2, 2.86. 1/24, 2.87. 12/5,
2.88. 3/4, 2.89. 144, 2.90, -2, 2.91. 2/3, 2.92. , 2.93. 1/4,
2.94. 1/2, 2.95. 1/12, 2.96. 20, 2.97. 0, 2.98. , 2.99. e-5,
2.100. e-0.3, 2.101. e3, 2.102. e-6, 2.103. e6, 2.104. e8/3, 2.105. ,
2.106. 16, 2.107. e4, 2.108. e6/5, 2.109. 0, 2.110. , 2.111. -2.5,
2.112. 1/6, 2.113. 200,
2.114. , 2.115. , 2.116. , 2.117. 1, 2.118. 6, 2.119. , 2.120. 3, 2.121. 2, 2.122. , 2.123. -6/, 2.124. 11/8, 2.125 , 2.126. 3/2, 2.127. , 2.128. 6,
2.129. 2, 2.130. 1/5, 2.131. 2/, 2.132. 5/4, 2.133. 65/112, 2.134. 7/36, 2.135. 1/48, 2.136. 29, 2.137. 1, 2.138. 2/,
2.139. а/,2.140. 1/2, 2.141. sina, 2.142. , 2.143. 3/11e,
2.144. 2a2lna, 2.145. , 2.146. -1/8, 2.147. 8, 2.148. a/cos2a, 2.149. 9ln3/, 2.150. 3ln3, 2.151. , 2.152. 1/8, 2.153. , 2.154. 30.1, 2.155. , 2.156. , 2.157. e-1, 2.158. e3/2,
2.159. , 2.160. , 2.161. axln2a, 2.162. e-(a+b), 2.163. lna, 2.164. 6, 2.165. , 2.166. ablna, 2.167. , 2.168. e,
2.169. , 2.170. -1/2, 2.171. sinx/x, 2.172. 0, 2.173. ½,
2.174. 1/2, 2.175. одного порядка, 2.175(а). не сравнимы.
2.177. при , 2.178. а) 1/3; б) 1/2; в) эквивалентны; г) 2; д) 2; е) эквивалентны, 2.179. 1) 1.03; 2) 3.167; 3) 26/9 = 2.(8); 4) 1.12; 5) 0.72; 6) 0.043,
2.180. Указание. Произвести замену x = t20.
2.181. точки бесконечного разрыва,
x=2 и x = 2 вертикальные асимптоты,
y=0 горизонтальная асимптота.
2.182. - точки бесконечного разрыва, x = 1 и x = 1вертикальные
односторонние асимптоты,
y =1горизонтальная асимптота..
2.183. x =1 точка бесконечного разрыва,
x =1 вертикальная (правосторонняя)
асимптота, y =1горизонтальная
асимптота.
2.184. х = 3 точка разрыва 1-го рода,
у = 0 горизонтальная асимптота.
2.185. ,
горизонтальная асимптота.
2.186. - точки бесконечного разрыва,
x =2 и x =2 вертикальные асимптоты,
y =1 горизонтальная асимптота..
2.187. - точки разрыва 2-го рода,
x = 3 и x = 3 вертикальные
односторонние асимптоты,
y =1 горизонтальная асимптота.
2.188. точки разрыва 2-го рода,
x = 1 и x =1 – вертикальные
односторонние асимптоты,
y =1 горизонтальная асимптота.
2.189. x = 2 точка разрыва 2-го рода,
x =2 вертикальная левосторонняя
асимптота, y =1 горизонтальная
асимптота.
2.190. точки разрыва 2-го рода,
x = 2 и x = 2 вертикальные
левосторонние асимптоты,
y=1 горизонтальная асимптота.
2.191. x = 1 точка конечного разрыва,
скачок ,
горизонтальная
асимптота, .
2.192. , y =0 горизонтальная
асимптота.
2.193. x = 0 точка устранимого разрыва,
точка разрыва 2-го рода,
x =1 и x =1 вертикальные асимптоты,
y = 0 горизонтальная асимптота..
2.194. x = 0 точка устранимого разрыва,
горизонтальная асимптота,
.
2.195. x = 0 точка конечного разрыва,
h(0)= 1, горизонтальная
асимптота,
0<y<1.
2.196. x =1 точка разрыва 1-го рода,
скачок h(1) =1, -
горизонтальная асимптота,
0<y<1.
2.197. x = 0 точка бесконечного разрыва,
точки
разрыва 1-го рода..
2 .198. x = k2 точки разрыва 1-го рода..
2.199. точки разрыва 1-го рода.
2.200. x = 1 точка устранимого разрыва,
x = 0 точка разрыва 2-го рода.
2.201. точка конечного разрыва,
скачок .
2.202. x = 0 точка бесконечного разрыва,
скачок h(1) = 2,
y = 0 горизонтальная асимптота..
2.203. x =1 точка разрыва 1-го рода,
скачок h(1)=-3,
x = 0 точка разрыва 2-го рода,
y = 0 правосторонняя
горизонтальная асимптота,
x = 0 вертикальная асимптота.
2.204. x = 0 точка разрыва 1-го рода,
скачок h(0)= 1,
x =1 точка разрыва 2-го рода,
x = 0 горизонтальная асимптота.
2.205. x = 1 точка разрыва 2-го рода,
x = 1 вертикальная
двусторонняя асимптота,
– наклонная
двусторонняя асимптота.
2.206. х = 0 – точка устранимого
разрыва; у = х – двусторонняя
наклонная асимптота.
2.207. х = 0 точка разрыва 2-го рода,
график пересекает ось Ox
в интервале бесконечное
число раз в точках ,
у =0 горизонтальная асимптота..
2.208. x = 1 точка бесконечного разрыва,
x= 1 вертикальная двусторонняя
асимптота, y = x +1 наклонная
асимптота.
2.209. В точках
разрыв 1-го рода..
2.210. x = 1 точка бесконечного разрыва,
x =1 вертикальная двусторонняя
асимптота, y =0 горизонтальная
правосторонняя асимптота.
2.211. x = 0 точка устранимого разрыва, .
2.212. x = 0 точка устранимого разрыва, .
2.213. x = 0 точка устранимого разрыва, f(0)=2; точки разрыва 2-го рода. 2.214. x = 0 точка устранимого разрыва, f(0) = 1, x =1 точка устранимого разрыва, f(1)=0;
x=1 точка разрыва 2-го рода. 2.215. x =1 точка устранимого разрыва, f(1)=1.
2.216. x=0 точка устранимого разрыва, f(0)=1/2. 2.217. x=1 точка устранимого разрыва, f(1)=e3. 2.219. точки устранимого разрыва, ; точки разрыва 1-го рода, скачок , .
2.220. x =2 точка устранимого разрыва, f(2)=1. 2.221. , 2.222. a=2, 2.223. 2.224. 2.225. a=3, , 2.226.
2.228. a) , б) , в) ,
г) 30. 2.229. a) , б) ,
в) , г) .
2.230.
2.231. .
2.232. .
2.233. а), б)
2.234. а),
б) .
2.235. а), б) .
2.236. а), б) .
2.237. а), б) ,
в) ,
г)
2.238. а), б) .
2. 239. а),
б) .
2.240. а), б) .
2.241. а), б) .
2.242. а), б) .
2.243. а), б) .
2.244. а),
б) .
2.245. а), б) .
2.246. а),
б) .
2.247. а),
б) .
2.248. а),
б) .
2.249. а),
б) .
2.250. а) ,
б) .
2.251. а) , б) .
2.252. . 2.253. .
2.254. а) , б) .
2.255. а) , б) .
2.256. а) , б) .
2.257. . 2.258. .
2.259. . 2.260. . 2.261. .
2. 262. . 2.263. .
2. 264. .
2.265. . 2.266. . 2.267. .
2.268..
2.269. . 2.270. .
2. 271. 2.272. .
2.273. .
2. 274. .
2.275. .
2.276.
.
2.277. .
2.278. . 2.279. .
2.280. .
2.281. .
2.282. .
2.283. .
2.284. .
2.285. . 2.286. .
2.287. .
2.288. .
2.289. .
2.290. . 2.291.
2.292. 2, 2.293. 2, 2.294. 1/3, 2.295. 1/3, 2.296. 1/128, 2.297. 1, 2.298. 1/6, 2.299. 16, 2.300. 1, 2.301. 2, 2.302. 0, 2.303. ,
2.304. , 2.305. 0, 2.306. 1/2, 2.307. 0, 2.308. 1/2, 2.309. 1/2,
2.310. , 2.311. 1, 2.312. 1, 2.313. e, 2.314. 1, 2.315. 1,
2.316. , 2.317. e1/6. 2.318. 2, 2.319. 0.25, 2.320. 3,
2.321, 1/15, 2.322. 1, 2.323. -12, 2.324. 2/3, 2.325. 8/11,
2.326. 11/24, 2.327. -10/3, 2.328. 0.25, 2.329. -8, 2.330. 0.15, 2.331. -2.