3.4 Падение плоской электромагнитной волны на границу раздела сред

Рассмотрим случай, когда плоская ЭМВ, распространяющаяся в среде 1, падает на границу раздела со средой 2, под некоторым углом падения , который лежит в пределах 0⁰    90⁰. Геометрия задачи и оси координат показаны на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 – Падение плоской волны на границу раздела сред

Введем волны – падающую, отраженную и преломленную. Векторы Пойнтинга всех перечисленных волн лежат в одной плоскости, называемой плоскостью падения.

Из курса физики известно, что между введенными углами существует определенная зависимость, а именно: угол падения равен углу отражения, т.е.:

, (3.22)

и имеет место закон Снелля:

(3.23)

где , – коэффициенты фазы плоских волн в средах 1 и 2 .

Формулу (3.23) можно переписать:

(3.24)

где – показатель преломления физической среды.

Отмеченные выше закономерности справедливы при любой ориентации векторов электромагнитного поля. Представляют интерес два случая, которые рассматриваются ниже.

Перпендикулярная поляризация. В этом случае направление вектора Е перпендикулярно плоскости падения (рисунок 3.5).

Пусть , и – комплексные амплитуды векторов напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн. Граничные условия в плоскости z = 0 запишутся весьма просто:

(3.25)

При записи граничных условий для векторов напряженности магнитных полей следует учесть, что их касательная составляющая получается путем умножения модулей векторов Н на косинусы соответствующих углов.

Рисунок 3.5 – Перпендикулярная поляризация падающего поля

Выразим векторы Н через вектор Е и соответствующие характеристические сопротивления сред. Таким образом, условие непрерывности касательных составляющих напряженности магнитного поля в плоскости z = 0 принимает вид:

. (3.26)

Введем в рассмотрение коэффициент отражения R и коэффициент преломления Т по электрическому полю (нижний значок указывает, что эти величины относятся к случаю перпендикулярной поляризации):

, . (3.27)

Теперь формулы (3.25) и (3.26) можно объединить, получив в результате систему двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных R и Т:

,

. (3.28)

Решение системы (3.28) имеет следующий вид:

. (3.29)

. (3.30)

Чтобы пользоваться формулами (3.29) и (3.30), необходимо, задавшись некоторым значением угла падения , предварительно вычислить угол преломления  на основания закона Снелля.

На практике часто приходится вычислять коэффициенты отражения и преломления плоских волн для частного случая, когда средой 1 служит вакуум или воздух ( =1,  =1), а средой 2 – немагнитный ( = 1) диэлектрик без потерь с относительной диэлектрической проницаемостью . При этом формулы (3.29) и (3.30) удается объединить законом Снелля, записав их в следующем виде:

,

.

Параллельная поляризация. Этот случай характеризуется тем, что векторы Е всех трех волн – падающей, отраженной и преломленной – параллельны плоскости падения (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Параллельная поляризация падающего поля

По аналогии со случаем перпендикулярной поляризации запишем условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей:

, (3.31)

. (3.32)

Введем коэффициент отражения R_ и коэффициент преломления Т_ по электрическому полю (нижний значок указывает на то, что данные величины относятся к случаю параллельной поляризации). Разделив обе части равенств (3.31) и (3.32) на комплексную амплитуду , получим следующую систему уравнений относительно неизвестных R и Т:

,

, (3.33)

откуда:

, (3.34)

. (3.35)

Если средой 2 служит немагнитный диэлектрик с относительной проницаемостью , формулы (3.34) и (3.35) приводятся к виду более удобному для инженерных расчетов.

. (3.36)

. (3.37)

При наклонном падении электромагнитной волны на границу раздела сред наблюдается два замечательных явления.

Углом Брюстера называется угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, переходит через границу раздела двух материальных сред. Это явление наблюдается только для волн параллельной поляризации.

Условие R_|| = 0 (см. формулу 3.34) приводит к уравнению:

. (3.38)

Если первая среда – вакуум, а вторая среда характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью , то из (3.36) имеем:

откуда имеем:

. (3.39)

Явление Брюстера используется в технике для создания устройств без отражений.

Явление полного внутреннего отражения наблюдается в случаях, когда среда 2 оптически менее плотная, чем среда 1 (n₁  n₂). В этом случае    и имеется такое значение угла падения, когда преломленная волна будет распространяться параллельно границе раздела сред, т.е. под углом   90⁰. Данное критическое значение угла называется углом полного внутреннего отражения:

. (3.40)

При углах падения   _пво энергия падающей волны полностью отражается внутри среды с большей оптической плотностью. Явление полного внутреннего отражения используется в оптике, например, для изменения направления распространения пучка лучей при помощи призмы.

Контрольные вопросы:

1 Аналитическая запись плоской скалярной волны.

2 Графическое представление плоской скалярной волны.

3 Определение скорости распространения скалярной волны.

4 Пространственное распределение плоской скалярной волны в среде с потерями.

5 Определение плоской электромагнитной волны.

6 Определение комплексного коэффициента распространения.

7 Формулировка закона Снелля.

8 Падение плоской электромагнитной волны на границу раздела сред.

9 Перпендикулярная и параллельная поляризации поля на границе раздела сред.

10 Определение коэффициентов отражения и прохождения.

11 Пространственное распределение электромагнитного поля в хорошо проводящей среде.