3.2 Плоская электромагнитная волна

Электромагнитная волна (ЭМВ) – это колебания векторов поля и , распространяющихся в среде с заданными электрофизическими параметрами , . Ориентация вектора в пространстве определяет плоскость поляризации и ЭМВ.

Плоская ЭМВ удовлетворяет двум исходным требованиям:

1 Составляющая , с другой стороны ;

2 зависит только от координаты, вдоль возрастания которой распространяется волна (для определенности это координата z) и, следовательно, .

Из второго уравнения Максвелла для комплексных амплитуд (2.14) с учетом отмеченных выше положений пунктов 1 и 2 получим:

, . (3.6)

Подставляя в первое уравнение (2.14) и выполняя дифференцирование, получим дифференциальное уравнение второго порядка для :

, (3.7)

где

. (3.8)

Общее решение уравнения (3.7) представляет собой сумму экспонент:

, (3.9)

где , – корни уравнения (3.8).

Корень лежит в первом квадранте и . Формулу (3.9) перепишем следующим образом:

. (3.10)

И отметим, что (3.10) является решением уравнения (3.7), которое называется уравнением Гельмгольца.

Вернувшись теперь к (3.6), запишем для составляющей напряженности магнитного поля волны, бегущей в сторону:

. (3.11)

На рисунке 3.3 показано расположение γ², и на комплексной плоскости.

Рисунок 3.3 – Коэффициенты распространения на комплексной плоскости

Из (3.11) видно, что и связаны в любой точке коэффициентом пропорциональности, который имеет размерность Ом и называется характеристическим (волновым) сопротивлением волны т.е.:

. (3.12)

Плотность потока мощности, переносимой плоской ЭМВ, равна среднему значению модуля вектора Пойнтинга:

. (3.13)

В заключение отметим основные особенности плоской ЭМВ:

1 Векторы поля и перпендикулярны между собой.

2 В каждой точке пространства комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей связаны между собой коэффициентом пропорциональности – характеристическим сопротивлением.

3 Ориентация вектора показывает направление распространения волны и направление переноса мощности.

4 Векторы , , образуют правую тройку векторов и подчиняются правилу буравчика.

3.3 Частные случаи распространения плоских электромагнитных волн

Рассмотрим некоторые частные случаи сред, от электрофизических характеристик которых зависят особенности распространения ЭМВ.

Свободное пространство (вакуум). Это идеальная среда, для которой:

, , .

Коэффициент распространения величина чисто мнимая и волна распространяется без затухания. Скорость распространения волны: , т.е. равна скорости света и не зависит от частоты. Характеристическое сопротивление вакуума: – величина действительная, т.е. в любой точке z поля E и H находятся в фазе.

Диэлектрик с малыми потерями. Такие материалы широко используются в аппаратуре радиоэлектроники и связи, для них tg (δ) = 10^-3 – 10^-5 .

Коэффициент распространения:

. (3.14)

Так как tg (δ)<<1, можно приближенно вычислить корень квадратный в (3.14):

, (3.15)

и тогда:

(3.16)

.

Для характеристического сопротивления, используя приближенное вычисление корня, легко получить:

. (3.17)

Комплексный характер Z_C показывает на небольшую несинфазность напряженностей полей E и H, которой на практике можно пренебречь.

Хорошо проводящая среда. Для металлоподобных сред , т.е. плотность токов проводимости значительно больше токов смещения. Комплексную диэлектрическую проницаемость можно считать чисто мнимой .

Коэффициент распространения:

. (3.18)

Учитывая, что , из (3.18) получим:

. (3.19)

Аналогично найдем:

. (3.20)

В хорошо проводящей среде сдвиг по фазе между E и H составляет 45⁰ и величина сопротивления зависит от частоты (явление дисперсии).

Амплитуда поля в металле изменяется по закону . Расстояние d, на котором амплитуда поля уменьшается в е = 2,718 раз называется толщиной скин-слоя (глубиной проникновения):

. (3.21)

Например, для меди (σ = 5,7•10⁷ См/м) на частоте 1 ГГц. (λ = 30 см) глубина скин-слоя равна 6 мкм.