Литература

1. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели // Математическое моделирование социальных процессов. M.: МГУ, 1998. С.29-51.

2. Бородкин Л.И. Моделирование взаимодействия в системе "народ— правительство": модификация модели Вайдлиха// Математическое мо­делирование исторических процессов. M., 1996. С. 122-142.

3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. M., 1976.

4. Гаврилец Ю.Н., Ефимов В.А. Изменения предпочтений индиви­дов в социальной среде// Экономика и математические методы. 1997. №2. С. 76-93.

5. Геловани В.А., Пионтковский А.А., Юрченко В.В. О задаче управ­ления в глобальной модели WORLD-3. M., 1975.

6. Долголаптев В.Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на приме­рах. M.: Бином, 1995.

7. Иваницкий Г.Р. На пути второй интеллектуальной революции// Техника кино и телевидения. 1988. № 5. С. 33-39.

8. Налимов В.В., Мульченко З.М. Наукометрия. M., 1969.

9. Паповян С.С. Математические методы в социальной психологии. M.: Наука, 1983.

10. Плотивский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. M.: МГУ, 1992.

11. Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование — новый ин­струмент социологов//Социологические исследования. 2000. № 5. С. 116-122.

12. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологичес­ких продукционных процессов. M.: МГУ, 1993.

13. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. M., 1977.

14. Сергазин Ж.Ф. Введение в социальное моделирование. Л., 1991.

15. Тихомиров Н.П. и др. Моделирование социальных процессов. M., 1993.

16. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. M., 1998.

17. Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в эколо­гии. M., 1999.

18. Форрестер Дж. Мировая динамика M., 1978.

19. Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35 years // A Systems — based approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B. Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239.

20. Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems// Eur. J. of Opnl. Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109.

21. Hanneman R.A. Computer-assisted theory building. Modeling dy­namic social systems. N. Y.: Sage. 1988.

22. Harvey D.L., Reed M. Social Science as the Study of Complex Systems // Chaos Theory in the Social Sciences / Ed.by L.D.Kiel and E.Elliot Ann Arbor. The Univ. of Michigan Press, 1996. P. 295-323.

23. Huckfeldt R.R., Kohfeld C.W., Likens T.W. Dynamic modeling. An Introduction. Newbery Park: Sage, 1982.

24. Olinick M. An Introduction to mathematical models in social and life scince. N.Y., 1978.

25. Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 1983.

26. Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960.

27. Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Beha­vioral Sci. Vol. 33. 1988. P. 241-256.

Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"

Рассмотрим основные положения теории катастроф на при­мере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференци­альное уравнение

dx/dt = -х³ +Ьх+а. (13.1)

При варьировании значений параметров а и & поведение сис­темы (число стационарных точек, их расположение) будет так­же меняться. Для изучения качественного характера этих изме­нений рассмотрим потенциальную функцию

F(x,a,b) = х⁴ /4 - bx² /2 - ах.

Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кри­вая (4Ь³ - 27а²). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две час­ти. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один мини­мум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функ­ции F можно определить, приравняв нулю первую производную:

х³-Ьх-а = 0. (13.2)

Целесообразно также провести исследование функции г, по­строив серию графиков при фиксированных значениях у из ин­тервала (-5;5).

Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазо­вого портрета на плоскости являются положения равновесия и пре­дельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения рав­новесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый порт­рет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений парамет­ров происходит бифуркация — меняется топологическая струк­тура фазового портрета. Качественное исследование динамичес­кой системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества би­фуркационных значений параметров.

Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение рав­новесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех — неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.

Если в процессе изменения системы параметр подходит к би­фуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равнове­сия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Ситуация возникновения предельного цикла может быть про­иллюстрирована следующей системой уравнений:

\dr/dt = Kr-r³; ₍₁₃₅₎ [dy/dt = с,

где с — константа, гиф — полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и стано­вится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фо­кус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,

что независимо от начального состояния система достаточно бы­стро перейдет в режим периодических колебаний (автоколеба­тельный режим).

Рис. 13.3. Рождение цикла

Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными цикла­ми. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается ус­тойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго вариан­та при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равнове­сия — фокусу (рис. 13.4).

Рис. 13.4. Гибель цикла

В первом варианте после потери устойчивости положения рав­новесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система ухо­дит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчиво­сти) и переходит на другой режим движения [1].

Множество точек, к которым притягиваются траектории авто­номных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов — особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-

личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором — на периодический режим.

При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возмож­но возникновение странных аттракторов.