12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации

В теории разностных уравнений предполагается, что пере­менные исследуемого процесса определены в дискретные мо­менты J₁, t₂, ..., t_n. Интервал времени At = t_i+l - t_t, как правило, предполагается постоянным для любого i (i = 1,..., п,...). Целе­сообразность такого рассмотрения определяется исходными дан­ными о социальном процессе, которые часто измеряются в дис­кретные моменты времени (официальная статистика, периодические опросы, переписи и т.д.). Интервал времени мо­жет равняться пятилетке, году, кварталу, месяцу, неделе и т.д. Если интервал становится бесконечно малым (Д£ —> О), то про­цесс рассматривается как непрерывный и изучается с помощью теории дифференциальных уравнений.

Модель мобилизации. Под термином "политическая" или "со­циальная мобилизация" понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, обращение в какую-либо веру, учас­тие в данном движении (борьба за мир, экология, здоровье и т.д.). Текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успе­хов пропагандистской кампании. Используя простейшую дина­мическую модель, попытаемся отразить логику изменений уров­ня мобилизации между двумя соседними моментами времени [23].

Обозначим через М_{ долю мобилизованного населения в момент t, тогда доля немобилизованного населения равна 1 - M₁. Пусть ДМ₍ обозначает изменение уровня мобилизации за единицу вре­мени (год, месяц и т.д.):

AM, = M_t+1 - M,

За время от t до t + 1 уровень мобилизации может измениться по двум причинам: 1) удалось дополнительно сагитировать часть населения g (1 - M ), где g — коэффициент агитируемости, кон­станта, не зависящая от времени; 2) часть населения, выбывающая из числа членов, участников, сторонников, равна fM_t, где / — по­стоянный коэффициент выбытия (g > О, / > О). Параметры g и / выражают пропорции, в которых соответствующие части населе­ния меняют свое поведения на рассматриваемом отрезке времени.

Тогда уравнение процесса мобилизации можно записать сле­дующим образом:

M_m-M_t-e(l-M,)-/M_t. (12.5)

Уравнение (12.5) может быть преобразовано следующим об­разом:

M₁₊₁ = g + (l-f-g)M_t, (12-6) т.е. приведено к виду

М<₊Г «о + *, M₁, (¹²'⁷)

который является стандартной формой линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

Решением уравнения (12.7) называется такая функция M(t), что последовательность М₍ удовлетворяет этому уравнению для заданной области значений t.

Уравнение (12.7) является простейшим и легко может быть решено алгебраическими методами. В общем случае решение дан­ного уравнения имеет вид

(12.8)

Таким образом, решение уравнения (12.7) однозначно опреде­ляется начальным значением M₀.

Равновесие и устойчивость. Одно из присущих человеку ка­честв — стремление к стабильности — формализуется в теории динамических систем с помощью понятия равновесия.

Равновесие — состояние системы, в котором интересующие исследователя параметры остаются неизменными: M₁₊₁ = M₁, при­чем это не означает, что жизнь в системе вообще замирает. В рамках модели мобилизации предположение о постоянстве M₁ не свидетельствует об отсутствия изменений среди сторонников данной партии (часть уезжает, умирает, других партии удается привлечь на свою сторону), но общее соотношение остается при­мерно постоянным.

Для определения точки равновесия системы M* подставим условие M_t+1 = M_t в уравнение (12.5), в результате чего получим

Следовательно,

Легко показать, что для уравнения (12.7) состояние равнове­сия вычисляется следующим образом:

Из соотношения (12.8) можно установить, что существуют толь­ко варианты поведения решения, изображенные на рис. 12.1 [23]. Вариант I описывает монотонную сходимость к состоянию рав­новесия (при O₁ > 0 и | C₁1 < I); вариант II — осциллирующую сходимость к состоянию равновесия (при O₁ < О и | C₁ | < 1); вариант III — монотонную расходимость (при C₁ > О и | C₁1 > 1); вариант IV — осциллирующую расходимость (при C₁ < О и | O₁1 > 1).

Рис. 12.1. Качественное поведение решений уравнения (12.7)

По определению, варианты I и II характеризуют устойчивую систему — все решения сходятся к положению равновесия неза-

висимо от значений M₀ и а₀, а варианты III и IV — неустойчивую систему.

Оценка параметров динамической модели. Модель мобилиза­ции использовалась для изучения динамики числа голосов, подан­ных за демократическую партию США в Лэйк Кантри (штат Ин­диана) в период 1920-1968 гг. [23].

Для оценки численных значений коэффициентов а₀, а_г моде- » ли применялся метод наименьших квадратов. Разностное урав- I нение (12.7) рассматривалось как линейное регрессионное урав- 1 нение у = т₀ + m_l х, где у = М₍₊₁ — доля избирателей в Лэйк Кантри, голосующих за кандидатов от демократической партии в год t + 1 = 1924, 1928,..., 1968; х = M_t — доля голосующих за демократов в год t = 1920, 1924,..., 1964.

С помощью метода наименьших квадратов в [23] получены следующие значения коэффициентов: т₀ — 0,14; Tn₁ = 0,62. По формуле (12.10) вычисляем состояние равновесия:

На рис. 12.2,а изображен график наблюдаемых значений M₁, а на рис. 12.2,6 — график решения разностного уравнения (12.7)

при M₀ = M₁₉₂₀.

Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)

Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что раз­ностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная мо­дель является чрезвычайно упрощенной, реалистические моде­ли требуют учета большого числа факторов и нелинейных соот­ношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.