12.5. Модели сотрудничества и борьбы за существование

Модели Лотки-Вольтерра. В данном параграфе будут рассмот­рены простейшие нелинейные системы дифференциальных урав­нений, позволяющие тем не менее создавать достаточно реали­стические модели социальных процессов. Но прежде чем перейти к моделированию социальных взаимодействий, рассмотрим так на­зываемые модели Лотки—Вольтерра, активно применяемые био­логами для изучения взаимодействия популяций [12].

Проанализируем систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух популяций:

dx_l /dt = C₁ X₁ + a_l2 X₁ X₂ + a_n X₁², dx₂/dt = c₂x₂+ a_2l X₁X₂ + а₂₂ X₂², \

где X₁ (t) и X₂ (t) — численность популяций в момент t. I

Линейные члены C₁X₁ и C₂JC₂ в правых частях уравнений coot- I

ветствуют свободному размножению видов. Если коэффициент I

с > О, то численность соответствующего вида растет (положитель­ная обратная связь), если C₁ < О, то численность уменьшается (отрицательная обратная связь).

Члены U₁₁ X₁² отражают наличие внутривидовой конкуренции при U₁₁ < О. Если а_п > О, то мы имеем дело с сильной положитель­ной обратной связью, отражающей эффект "группирования",— благоприятное влияние на численность популяции процесса обра­зования сообществ.

Наиболее интересны в этой модели произведения факторов Jt₁ X₂, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а_ отрицательны, то виды конкурируют друг с дру­гом. При а^ > О процесс взаимодействия биологи называют сим­биозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничес­тве, кооперации). Если а₁₂ > О и а₂₁ < О, то первый вид является хищником, а второй — жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).

В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лот-ки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].

В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить цик­лический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вы­званный этим дефицит пищи приводит к сокращению численно­сти волков, что в свою очередь способствует развитию популя­ции зайцев.

Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р.Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономер­ность — пульсирующий характер развития [7]. Так, для творчес­кого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фак­тора, регулирующие длительность этапа зарождения нового на­правления в науке или искусстве: психологический и социаль­ный. Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо

идеям, либо ощущает сопротивление своим идеям. Возможно пре­бывание одновременно в двух указанных состояниях.

Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдер­живать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротив­ления пропорциональна величине притязаний реформатора.

В случае успеха в развитии любого направления наступает ста­дия экспоненциального роста количества продукции. На этой ста­дии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьше­ние интереса, замедление роста продуктивности, начинается от­ток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направ­лению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.

Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоя­щая из большого числа различных направлений, также характе­ризуется пульсирующим характером развития. В простейшем слу­чае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:

IdN₁/Ut = U₁N₁Nt-U₂N₁, [dN₂/dt = k₃N₁N₂-k^N₂,

где N₁₂—число специалистов; dN_l /dt, dN₂/dt — скорости изме­нения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; ft.— коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое урав­нение системы (12.25) означает, что скорость изменения количес­тва продукции пропорциональна произведению W₁ N₂ и обратно пропорциональна численности работников в данной области.

Численные эксперименты показали, что кривые, являющие­ся решением системы (12.25), циклически колеблются около экс­поненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Ива­ницкий, данная модель может претендовать в первом приближе­нии на качественное описание реального творческого процесса.

В данной главе в основном рассматривались примеры дина­мических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифферен­циальных уравнений для моделирования индивидуального пове­дения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциаль­ных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,

которые можно описать и на обыденном языке, но в значительно более расплывчатой форме.

Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содер­жательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, мож­но исследовать особенности поведения решений, получить качес­твенные оценки.

Следует отметить, что при интерпретации полученных реше­ний необходимо снова вернуться к языку содержательных поня­тий для оценки адекватности и осмысленности полученных мате­матических выводов.