9.2. Модели диффузии инноваций и логистического роста

Методы диффузии инноваций могут быть распространены и на изучение динамики антисоциального поведения — форм кол­лективного протеста, тактики террористов, распространения нар­котиков и т.д. Антисоциальные движения нередко возникают как оппозиция происходящим переменам, вызванным какой-ли­бо инновацией. В качестве примера обычно приводят движение луддистов, которые между 1811 и 1816 гг. разбили немало тек­стильных машин, что лишь ненадолго замедлило развитие анг­лийской легкой промышленности. Менее известно аналогичное движение под руководством капитана Свинга, пытавшегося те­ми же методами остановить процесс распространения сельскохо­зяйственной техники (механических молотилок). На рис. 9.1 пред-

К- 250

240

180

' t_m — 23 ноября At = 13 дней

120

60

О

8 Ноября 18 ноября 28 ноября 8 декабря

Рис. 9.1. Динамика движения протеста в Англии в 1830 г. [14]

184

ставлены данные о динамике этого процесса, протекавшего всего месяц — с 8 ноября по 8 декабря 1830 г.

Точки на графике показывают, сколько машин было разру­шено в данный день плюс число машин, уже сломанных к этому времени. Удивительно, что львиная доля машин была уничто­жена всего за десять дней (с 18 по 28 ноября), что говорит о высокой эффективности социальных сетей коммуникаций — ведь в те времена в сельской Англии не было современного транспор­та и средств связи [14].

Стоит обратить внимание на то, насколько хорошо логистичес­кая кривая (показана сплошной линией) описывает динамику стихийного протеста. Эмпирический анализ огромного числа при­родных, технико-экономических и социокультурных процессов показал, что динамика процессов их роста, развития, распро­странения подчиняется логистическому закону. На рис. 9.2 при­ведена динамика развития сетей транспорта и коммуникаций в США, подчиняющаяся логистическим закономерностям.

1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Годы Рис. 9.2. Динамика развития инфраструктуры США [14]

Для того чтобы понять сущность механизма, формирующего логистическую кривую, необходимо построить содержательные и формальные модели исследуемых процессов. Начнем с более про­стого случая — модели неограниченного экспоненционального роста.

Модель экспоненциального роста численности популяции. Обозначим через г/₍ численность популяции к моменту времени t. Если измерять значение г/₍ только в дискретные моменты времени (например, раз в год), то прирост численности популяции в год равен (y_t - y_t J. Если считать, что условия благоприятны для

185

развития популяции,— ресурсы неограничены, враги отсутству­ют, то можно предположить, что прирост численности популяции пропорционален достигнутой численности. Это содержательное предположение может быть формализовано в виде следующего уравнения:

где а — коэффициент пропорциональности. Такие уравнения на­зываются разностными.

Покажем, каким образом формируется механизм экспоненци­ального роста. Действительно, уравнение (9.1) легко преобразует­ся к уравнению

y_t=y_t_₁ + ay_t__l = (l + a)y_t__l, (9.2)

из которого видно, что каждое последующее значение y_t умножа­ется на фиксированную константу (1 + а). Таким образом, значе­ния y_f являются геометрической прогрессией и, следовательно, y(t) растет экспоненциально (как функция е').

О геометрической прогрессии как о законе роста населения пи­сал T. Мальтус (1766-1834). Используя его модель, Ч.Дарвин рассчитывал потенциальные возможности роста разных популя­ций. Согласно его расчетам, число потомков одной пары слонов через 750 лет может достичь 19 млн.

Значительно быстрее размножаются бактерии. Если одна бак­терия в благоприятной среде делится каждые 20 мин., то при со­хранении таких темпов деления потомство этой бактерии всего за 36 ч сможет образовать массу, которая покроет земной шар сплошным слоем толщиной 30 см, а еще через 2 ч толщина этого слоя достигнет 2 м [3].

Ясно, что процессы экспоненциального роста не могут длиться долго. Но на коротком временном интервале процессы роста могут быть описаны экспоненциальной кривой. Так, в 1937 г. на неболь­шой остров у побережья США завезли 8 фазанов, а через 6 лет популяция насчитывала уже 1898 птиц. Первые четыре года рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зави­симостью. К сожалению, в начале войны на острове были размеще­ны войска, ежегодный учет прекратился, а фазанов съели [3].

Модели логистического роста. Известно, что многие процес­сы в природе и обществе имеют пределы возможных изменений, в первую очередь из-за ограниченности ресурсов. Возвращаясь к диффузии инноваций, естественно предположить, что распростра­нение нововведений ограничено емкостью данного сегмента рын-

186

ка, возможностями целевой группы. Одним из главных факто­ров, определяющих скорость процессов диффузии, является меж­личностное общение между сторонниками данной новинки и те­ми, кто еще колеблется или вообще ничего не слышал о предлагаемом нововведении. Если обозначить число людей, при­нявших инновацию к моменту t, через y_t , то число лиц, кото­рых, в принципе, можно еще сагитировать, составит M - y_t , где M — емкость рынка, максимально возможное число лиц, спо­собных адаптировать данное нововведение. Можно считать, что прирост числа сторонников новинки пропорционален числу встреч между сторонниками новинки и сомневающимися. Число таких встреч пропорционально произведению y_t (M - y_t)*.

Формализация этих содержательных предположений приво­дит к следующему разностному уравнению:

У, -0,_, -ay,.! (M -y_t_J, (9.3)

где а — коэффициент пропорциональности.

Решением этого уравнения является логистическая функция, а само уравнение называется логистическим (более подробно технические детали описаны в § 12.1). Впервые логистическая модель как модель роста народонаселения была предложена бель­гийским математиком П.Ф.Ферхюльстом в 1838 г. В теории ин­новаций логистическую модель иногда называют моделью Фи-шера-Прея.

Логистическую S-образную кривую иногда называют кривой Перла — по имени американского демографа P. Перла (1870-1940), который провел огромное число эмпирических исследований рос­та различных организмов и популяций. Он обнаружил, что по логистическому закону увеличивается вес тыквы, растет число дрожжевых бактерий, росло народонаселение США до 1940 г. Поз­же выяснилось, что S-образные кривые хорошо описывают про­цессы замещения одной техники другой, смену технологий, эво­люционные процессы в экономической и социокультурной сферах.

Биологи дают логистическому уравнению несколько иную со­держательную интерпретацию. Если в правой части уравнения (9.3) раскрыть скобки, то получим

* Рассмотрим в качестве примера ситуацию, в которой 10 человек уже приняли новинку, а 20 — колеблются. Если предположить, что каж­дый сторонник новинки может встретиться со всеми сомневающими­ся, то общее число таких встреч равно 200.

187

(9.4)

Первое слагаемое правой части уравнения означает, что при­рост численности популяции пропорционален достигнутой чис­ленности. Второй член (- a{/f_j) формализует утверждение — прирост обратно пропорционален квадрату численности популя­ции. Биологи приводят следующие доводы в пользу данного пред­положения: чем больше число встреч между особями, чем выше плотность популяции, тем выше вероятность заболеваний, кон­фликтов, иначе говоря, выше "сопротивление среды", а значит, меньше прирост численности популяции*.

Попробуем проанализировать действие логистического меха­низма с помощью петель обратной связи.

Как видно из рис. 9.3, данная причинно-следственная модель имеет две петли обратной связи. Действие расположенной спра­ва петли положительной обратной связи постепенно ведет к экс­поненциальному росту численности популяции. Слева на рис. 9.3 изображена петля отрицательной обратной связи, действие ко­торой призвано стабилизировать процесс на уровне насыщения. Результирующая динамика процесса определяется поочередным доминированием петель. Сначала, пока процесс не дойдет до се­редины (М/2), доминирует петля положительной обратной свя-

Прирост численности популяции

Численность популяции У,

Возможности для роста

численности популяции

аМу,

Рис. 9.3. Диаграмма логистического уравнения

* Читатель вправе задать вопрос: почему раскрытие скобок способно при­водить к другой содержательной интерпретации? Все дело в том, что воз­можности математического языка ограничены. Как заметили когнито-логи, сентенции — стакан наполовину пуст и стакан наполовину полон — для математики эквивалентны, что может оказаться неверным с содер­жательной точки зрения.

188

зи. После прохождения центра симметрии доминирующее влия­ние оказывает петля отрицательной обратной связи [17].

Конечно, приведенные утверждения нельзя назвать совершен­но очевидными. Более подробное изложение возможностей качес­твенного анализа поведения систем с помощью петель обратной связи дается в разд. 3.

Чтобы у читателя не сложилось впечатление, что все процес­сы роста описываются логистическим уравнением, рассмотрим кривую Гомперца, названную в честь английского статистика и математика XIX века. Б.Гомперц, исследуя уровни смертности, распределение доходов и др., установил, что в ряде случаев их динамика описывается кривой у = а^ь , где коэффициенты а и Ъ удовлетворяют условиям: 0<а<1, Ь < 1.

Рис. 9.4. Динамика кумулятив­ного числа продаж новинки

Кривые Перла и Гомперца относятся к классу S-образных кривых, отображающих динамику роста кумулятивного значе­ния показателя, например числа продаж новинки (рис. 9.4). Что­бы перейти к более привычной форме визуализации данных, надо взять производную от S-об-разной функции. При этом по­лучим колоколообразную функ­цию, отображающую число продаж в данный момент време­ни (рис. 9.5). Можно ли сказать, что на рис. 9.5 представлена мо­дель жизненного цикла иннова­ции? Да. Но только в том слу­чае, если товар покупается один раз и время его использования мало. Если же продукт потреб­ляется многократно, то его жиз­ненный цикл выглядит сложнее (рис. 9.6).

f

Рис. 9.5. Динамика числа про­даж

Спад в числе продаж связан с тем, что ряд потребителей, ку­пив новинку один раз, не стано­вятся ее поклонниками. После пика уровень продаж товара ста­билизируется. Остаются только постоянные покупатели. В завер­шающий же фазе жизненного

189

цикла данный продукт будет вы­теснен с рынка новым, более пред­почтительным товаром [15].

Рис. 9.6. Жизненный цикл новинки

В заключение приведем любо­пытный пример прогнозирования процесса демократизации. В 1991 г. Дж.Модельски и Г.Перри пред­ложили рассмотреть процесс рас­пространения демократической формы правления как процесс диффузии инновации. По мнению американских политологов, демократия начала распространяться по земному шару в XV ве­ке. Первая фаза распространения демократических форм прав­ления — авторы назвали ее экспериментальной — длилась с 1450 по 1800 г. В это время доля населения, опробовавшая демокра­тические процедуры, не превышала 1-2% всего населения зем­ли. Далее процесс диффузии начал набирать обороты. К 1990 г. уже 40% населения земли избрало демократические формы прав­ления. По прогнозу авторов к концу XX столетия будет достиг­нута отметка 50%, а к 2100 г. уже 90% населения будут жить при наилучшей форме государственного устройства [16].

В своих расчетах авторы использовали для прогноза логи­стическую модель диффузии инноваций. Хотя содержательные предположения, лежащие в основе этой модели, не всегда бесспор­ны, число примеров ее успешного использования на практике ог­ромно.

Задачи и упражнения

1. Приведите примеры социокультурных процессов, которые нель­зя представить как диффузию нововведений.

2. Какие технические инновации будут оказывать наибольшее влия­ние на социум в ближайшем будущем?

3. Следует ли учитывать демографические изменения при анализе социокультурных нововведений?

4. Некоторые футурологи давно предрекают широкое распростра­нение групповой формы семьи. Что, на ваш взгляд, сдерживает диффу­зию этого нововведения?

5. Постройте модель распространения нововведений в сфере образо­вания.

6. Перечислите когнитивные факторы, влияющие на успех иннова­ции.

7. Какие индикаторы сигнализируют о том, что социальная систе­ма жаждет перемен?

190

8. Всегда ли широкая рекламная кампания гарантирует успех но­вому товару?

9. Почему "дурные примеры" заразительны?