- •Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре
- •6. Элементарные преобразования матриц.
- •7. Обратная матрица.
- •12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая
- •13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •15.Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
- •17. Системы координат на плоскости.
- •2. Линейные операции над векторами.
- •2.1. Сложение векторов.
- •2.2. Вычитание векторов.
- •2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
- •19. Скалярное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов
- •1.1 Основные свойства скалярного произведения
- •1.2 Скалярное произведение в координатной форме
- •1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
- •1. Угол между двумя векторами.
- •2. Направление вектора.
- •20. Векторное произведение векторов. 2. Векторное произведение двух векторов
- •2.1 Основные свойства.
- •2.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.3 Приложения векторного произведения.
- •21. Смешанное произведение векторов. 3. Смешанное произведение
- •3.1 Смешанное произведение в координатной форме
- •22. Линейные операции над векторами. 1. Линейные действия над векторами в координатной системе.
- •2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
- •3. Расстояние между двумя точками .
- •4. Деление отрезка в данном отношении
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов. 3. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •24. Критерии линейной зависимости векторов. 4. Критерии линейной зависимости векторов.
- •25. Векторное линейное пространство. 1. Векторное линейное пространство.
- •27. Ориентация пространства.
- •5.2. Условие коллинеарности двух векторов.
- •30.Линейные операторы. I. Линейные отображения
- •2. Понятие линейного оператора
- •3. Матрица линейного оператора
- •4. Действия с линейными операторами
- •31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
1.2 Скалярное произведение в координатной форме
Возьмем два вектора, заданных в координатной форме :
и перемножим их скалярно. Правые части можно перемножить по правилу умножения многочлена на многочлен, так как скалярное произведение подчиняется распределительно-му закону (свойству) :
Итак,
(2) т.е. скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме парных произведений одноименных координат этих векторов.
Для скалярного квадрата имеем .
Откуда модуль (длина) вектора равен корню квадратному из суммы квад-ратов его координат, т.е. или
.
Согласно свойству 1 и равенству (2) можно записать условие перпенди-кулярности (ортогональности) двух векторов в координатной форме
(3)
1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
1. Угол между двумя векторами.
Из определения скалярного произведения следует, что
(4)
Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном ба-зисе : , то
(5)
2. Направление вектора.
Направление вектора определяется, как было установлено, его направ-ляющими косинусами (рис. 4.2.).
Рис. 4.2. К определению направления вектора
Положить в формулах (4) и (5) и отметив, что и его коор-динаты {1; 0; 0} находим
(6)
Аналогично, взяв и , получим
;
При этом
(7)
Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направ-ление, но ничего не говорят о его длине.
Примеры :
1. Найти угол φ между векторами .
Решение. Искомый угол определим на основе формул (4) и (5) :
Следовательно, угол φ=900 и векторы и ортогональны (перпен-дикулярны).
Выводы :
1. Скалярное произведение распространяется на случай двух векторов – сомножителей и не распространяется на случай трех сомножителей.
2. Физический смысл скалярного произведения заключается в том, что скалярное произведение численно равно работе А силы по направ-ленному отрезку .
3. К скалярным произведениям применяются те же преобразования, ка-кие осуществляются над произведениями многочленов («раскрытие» скобок, вынесение общего множителя).
20. Векторное произведение векторов. 2. Векторное произведение двух векторов
Определение 1. Векторным произведением двух неколлинеарных век-торов и называется такой вектор который удовлетворяет трем условиям (рис.4.4).
Имеет модуль
1) ; (9)
2) т.е. перпендикулярен к плоскости векторов и ;
3) направлен так, чтобы тройка векторов , , бы-ла правой.
Обозначение : =× или
φ
Рис.4.4. К понятию векторного произведения.
Замечание.
1. Приведенные условия однозначно определяют векторное произведение, если сомножители – ненулевые векторы. Если хоть один из сомножителей – нулевой вектор, то векторное произведение равно нулю.
2. Модуль векторного произведения численно равен площади парал-лелограмма (рис. 4.4), построенного на векторах и .