- •Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре
- •6. Элементарные преобразования матриц.
- •7. Обратная матрица.
- •12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая
- •13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •15.Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
- •17. Системы координат на плоскости.
- •2. Линейные операции над векторами.
- •2.1. Сложение векторов.
- •2.2. Вычитание векторов.
- •2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
- •19. Скалярное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов
- •1.1 Основные свойства скалярного произведения
- •1.2 Скалярное произведение в координатной форме
- •1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
- •1. Угол между двумя векторами.
- •2. Направление вектора.
- •20. Векторное произведение векторов. 2. Векторное произведение двух векторов
- •2.1 Основные свойства.
- •2.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.3 Приложения векторного произведения.
- •21. Смешанное произведение векторов. 3. Смешанное произведение
- •3.1 Смешанное произведение в координатной форме
- •22. Линейные операции над векторами. 1. Линейные действия над векторами в координатной системе.
- •2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
- •3. Расстояние между двумя точками .
- •4. Деление отрезка в данном отношении
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов. 3. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •24. Критерии линейной зависимости векторов. 4. Критерии линейной зависимости векторов.
- •25. Векторное линейное пространство. 1. Векторное линейное пространство.
- •27. Ориентация пространства.
- •5.2. Условие коллинеарности двух векторов.
- •30.Линейные операторы. I. Линейные отображения
- •2. Понятие линейного оператора
- •3. Матрица линейного оператора
- •4. Действия с линейными операторами
- •31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
2. Понятие линейного оператора
В линейной алгебре термины отображение (преобразование) и опера-тор равнозначные.
Следовательно, линейный оператор – это линейное отображение ли-нейного пространства в себя.
Условия а) и б) линейности отображения делают удобной форму за-писи линейного оператора в виде как своеобразное «умножение ли-нейного оператора на вектор».
При такой записи условие а) можно интерпретировать как свойство дистрибутивности такого «умножения», а условие б) – как свойство ассо-циативности:
.
Нарушение любого из этих условий означает, что отображение (опе-ратор) не является линейным.
Рассмотрим примеры типовых линейных операторов.
1. Оператор, переводящий любой вектор линейного пространства R в нулевой вектор пространства , является линейным оператором. Та-кой оператор называется нулевым.
2. Оператор , который каждому вектору пространства R ставит в соответствие сам вектор , является линейным и называется единичным
или тождественным оператором. По условию имеем равенство .
3. Растяжение (сжатие) векторов пространства R в одно и то же число k раз является также линейным оператором. Такой оператор называется оператором подобия, т.е. .
Для этого оператора докажем его линейность. Применим оператор к вектору
.
В результате получим
откуда видно, что условие линейности (2) для данного оператора выполня-ется.
4. Оператор , который каждый вектор поворачивает вокруг некоторой точки 0 в одну и ту же сторону на угол α , является линейным и называется оператором вращения.
Если из пространства Х в пространство Y действует некоторый линейный оператор, то множество образов всех векторов из Х называют областью значений .
Область значений оператора является подпространством в Y . Размер-ность этого подпространства называется рангом оператора .
3. Матрица линейного оператора
Для простоты рассмотрения вопроса выберем реальное трехмерное пространство V3 с фиксированным базисом и применим к каждому из базисных векторов некоторый линейный оператор . Тогда векторы представляющие собой соответственно образы векторов , имеют в этом базисе разложения
(3)
В этом случае квадратную матрицу третьего порядка
(4) называют матрицей линейного оператора в базисе .
В этой матрице первый столбец состоит из координат образа базис-ного вектора , второй столбец – из координат образа базисного векто-
ра , третий столбец – из координат образа базисного вектора .
Фактически здесь рассмотрен переход от одного базиса линей-ного пространства V3 к другому его базису . Из того, что линей-ный оператор определяется заданием образов векторов базиса, вытекает, что такой переход является линейным оператором и матрицей такого опе-ратора в данном базисе будет матрица перехода от первого базиса ко вто-рому.
В общем случае каждому линейному оператору, действующему в соответствует линейное преобразование координат произвольного вектора этого пространства. Такое преобразование обычно записывается в матричной форме
, (5) где - координаты вектора , а - координаты вектора – образа при применении линейного оператора .
На основании этого можно найти матрицы рассмотренных типовых линейных операторов (в случае пространства с произвольным бази-сом).
1. Матрицей нулевого оператора независимо от выбора ба-зиса является нулевая матрица соответствующего типа.
Действительно, образом любого вектора в случае нулевого оператора есть нулевой вектор. Поэтому матрица нулевого оператора в любом базисе должна состоять из нулевых столбцов.
2. Матрица Е единичного оператора является единичной матрицей
Действительно, согласно определению единичного вектора координаты векторов и в произвольном базисе должны быть связаны соотношениями:
(6)
На основании (5) запишем уравнение в матричной форме
(7)
С учетом правила умножения матриц получим
(8)
Эти равенства справедливы, когда будут выполнены соотношения (6), т.е.
Отсюда следует, что матрица единичного оператора является единич-ной.
3. Матрицей оператора подобия (пусть ) будет матрица
4. Матрицей оператора вращения , действующего в пространстве , будет матрица
Рассмотрим один из подходов к нахождению матрицы нетипового ли-нейного оператора.
Пример 1. В пространстве с базисом линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы . Найти матрицу оператора в данном базисе.
Решение. Пусть - матрица оператора . Тогда из условий и по формуле (7) имеем (применительно к пространству )
и .
Используя правило умножения матриц, получим следующую систему уравнений
или
Отсюда имеем .
Следовательно, искомая матрица линейного оператора, действующе-го в пространстве
.