21. Смешанное произведение векторов. 3. Смешанное произведение

Определение и геометрический смысл.

Определение. Смешанным (векторно-скалярным) произведением век-торов называется число, которое получается в результате умножения векторного произведения скалярно на вектор и обозначаемое через .

Согласно определению =.

Дадим геометрическое истолкование смешанного произведения. Пусть векторы не компланарны. Построим на этих векторах парал-лелепипед П

Пусть тогда т.е. равен площади парал-лелограмма S, лежащего в основании параллелепипеда. Если рассмотреть скалярное произведение , тогда есть высота h параллелепипеда, так как . Но строго говоря, . Поэтому или , где V_П – объем искомого параллелепипеда. Таким образом, смешанное произ-ведение трех некомпланарных упорядоченных векторов по абсолютному значению равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того од-ноименна или разноименна (правая или левая) тройка векторов с тройкой ба-зисных векторов . В этом и состоит геометрический смысл смешанного произведения.

Свойства смешанного произведения.

1. Круговая перестановка трех векторов-множителей смешанного произ-ведения не меняет его значения. Перестановка же двух соседних сомножите-лей меняет знак произведения на противоположный, т.е.

2. Операции скалярного и векторного произведений в смешанном произ-ведении можно менять местами, т.е. справедливо тождество

.

3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов яв-ляется равенство нулю их смешанного произведения, т.е. .

Это означает, что параллелепипед выродился в плоскость.

3.1 Смешанное произведение в координатной форме

Пусть .

Тогда

(5)

Пример 1. Даны векторы

Определить : .

Решение.

Ответ : 1) векторы компланарны, так как ;

2) векторы составляют правую тройку, так как 3 >0 ;

3) объем V_П =3 куб. ед.

В заключении можно отметить, что смешанное произведение применяется, помимо вычисления объема параллелепипеда, также для вычисления объема пирамиды, построенной на векторах (тетраэдра) :

.

22. Линейные операции над векторами. 1. Линейные действия над векторами в координатной системе.

Из представления вектора через его координаты в выбранной системе координат и свойств умножения вектора на число и суммы векторов следует утверждения, которые показывают, как производить линейные действия над векторами, если заданы их координаты.

Предложение 1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Действительно, если

, то (7)

Предложение 2. При сложении векторов складываются их соответст-вующие координаты. В самом деле,

(8)

Предложение 3. При вычитании векторов вычитаются их соответст-вующие координаты. Действительно,

(9)

Выделим особо такое действие над вектором, как его нормирование , необходимость которого возникает в ряде прикладных задач.

Определение 6. Нормированием вектора называется нахождение единичного вектора (орта) того же направления, что и данный вектор .

Единичный вектор в этом случае обозначают . Чтобы нормировать вектор необхо-димо найти его длину и искомый единичный вектор определить по формуле

(10)

Пример2. Нормировать вектор .

Решение.

1) Найдем длину вектора . .

2) Единичный вектор (нормированный вектор) имеет вид

. Таким образом, или

, а нормирование, по сути есть умножение вектора на число