5.2. Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть векторы и разложены по базису :

Известно, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т.е. , где хотя бы одно из чисел λ₁ или λ₂ отличны от нуля.

Для определенности положим . Тогда

Откуда соотношение между координатами векторов (на основе аксиомы 5)

или их отношения

(7) Следовательно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат в данном базисе.

30.Линейные операторы. I. Линейные отображения

Изучение этого вопроса начнем с простейших примеров. Пусть на пло-скости (в пространстве V₂) произвольный вектор . Повернём плоскость против часовой стрелки на угол α . Тогда вектор в плоскости перейдет в другой вектор, пусть , который обозначим , т.е. = . Здесь введен-ный символ - это символ поворота вектора, означающий, что каждому вектору сопоставляется вектор . В этом случае говорят, что задано отображение плоскости пространства векторов в себя.

Вектор называется прообразом, а вектор = - образом при дан-ном отображении .

Если представить поворот параллелограмма, то он тоже перейдет в па-раллелограм. Поскольку по правилу параллелограмма производится сложе-ние векторов, то можно сказать, что при сложении прообразов и складываютя также и образы и (рис.1)

Рис. 1

Аналогично можно убедиться, что при умножении прообраза на число образ умножается на то же число:

Таким образом, при рассматриваемых отображениях сохраняются линейные действия над векторами – образами, что является критерием линейного отображения.

На основе этих примеров дадим общее определение линейного отоб-ражения.

Пусть даны линейные пространства Х и Y . Говорят, что из прост-ранства Х в пространство Y действует отображение или, что то же самое, преобразование , функция f или оператор , если каждому век-тору по какому-либо правилу соответствует определенный вектор .

Это правило (закон ) символически записывается в виде

(1) что по своей сути есть векторная функция векторного аргумента.

Вектор также называется образом вектора , вектор - прообра-зом вектора при отображении .

Если пространство Х и Y совпадают, то говорят, что отображение действует в пространстве Х .

Для отображения, например Х и Y , принято следующее условное обозначение (читается: « отображает пространство Х в про-странство Y» или «отображение из пространства Х в пространстве Y »).

Определение I . Отображение из линейного пространс-тва R в линейное пространство называется линейным отображением, если выполнены следующие условия: а) для любых векторов ,

б) для любого вектора и любого действи-тельного числа λ.

В определении условия а) б) обычно объединяют в виде одного усло-вия линейности: для любых , и любых действительных чисел ₁

и ₂

(2)

Таким образом, из определения следует, что при линейном отображе-нии линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.

В определении линейного отображения ничего не говорится о приро-де элементов пространств (множеств). Они могут быть объектами самой различной природы.

Например, условию линейности (2) удовлетворяет проектирование векторов в пространствах (V₃ и V₂) на некоторую фиксированную прямую (ось). Здесь образом вектора будет его компонента на выбранную ось ко-ординат, а под отображением понимается само проектирование.

Другой пример. Если рассматривать множество многочленов, то под образом каждого многочлена можно понимать его производную. В этом случае отображением является дифференцирование. Линейность такого отображения вытекает из того, что «производная суммы функций равна сумме их производных», а постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Отображение линейного пространства R в себя называют также линейным преобразованием линейного пространства R и говорят обычно, что в линейном пространстве R действует линейный оператор .