- •Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре
- •6. Элементарные преобразования матриц.
- •7. Обратная матрица.
- •12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая
- •13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •15.Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
- •17. Системы координат на плоскости.
- •2. Линейные операции над векторами.
- •2.1. Сложение векторов.
- •2.2. Вычитание векторов.
- •2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
- •19. Скалярное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов
- •1.1 Основные свойства скалярного произведения
- •1.2 Скалярное произведение в координатной форме
- •1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
- •1. Угол между двумя векторами.
- •2. Направление вектора.
- •20. Векторное произведение векторов. 2. Векторное произведение двух векторов
- •2.1 Основные свойства.
- •2.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.3 Приложения векторного произведения.
- •21. Смешанное произведение векторов. 3. Смешанное произведение
- •3.1 Смешанное произведение в координатной форме
- •22. Линейные операции над векторами. 1. Линейные действия над векторами в координатной системе.
- •2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
- •3. Расстояние между двумя точками .
- •4. Деление отрезка в данном отношении
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов. 3. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •24. Критерии линейной зависимости векторов. 4. Критерии линейной зависимости векторов.
- •25. Векторное линейное пространство. 1. Векторное линейное пространство.
- •27. Ориентация пространства.
- •5.2. Условие коллинеарности двух векторов.
- •30.Линейные операторы. I. Линейные отображения
- •2. Понятие линейного оператора
- •3. Матрица линейного оператора
- •4. Действия с линейными операторами
- •31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
27. Ориентация пространства.
Пусть базисные векторы в пространстве V3 имеют общее начало и упорядочены, т.е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации. |
|
Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .
Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т.е. на два непересекающихся подмножества.
а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;
б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .
Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным , а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .
Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .
Согласно критерию наблюдателя базис называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора ко второму вектору осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).
0 0
а) б)
Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)
Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства
Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.
По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).
Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.
Аналогично поступают и в случае пространства V2 (плоскости).
28. Разложение вектора по базису. Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R3 .
Пусть - линейно независимые векторы (базис) пространства R3 а - произвольный вектор этого пространства.
Теорема. Любой вектор пространства R3 однозначно представим в виде линейной комбинации трех линейно независимых век-торов этого пространства, т.е.
(3)
Представление произвольного вектора в виде линейной комбинации ба-зисных векторов называется разложением этого вектора по базису.
Например, выражение означает, что вектор разложен по базису .
29. Координаты вектора. Из рассмотренного выше следует, что фиксированный базис позволяет сопоставить каждому вектору пространства R 3 упорядоченную тройку чисел (а пространству R 2 – плоскости, - упорядоченную двойку чисел), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по векторам базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи бази-са сопоставляется единственный вектор пространства, если составим линейную комбинацию (аналогично и для пространства R 2 и вообще R n ).
Определение. Если - базис и вектор , то числа называются координатами вектора в данном базисе.
Обозначение : или, в конкретном случае .
Вполне очевидно, что если в пространстве R выбрать другой базис, то тот же вектор будет иметь другие координаты.