Часть V. Элементы линейного программирования.

Глава 2. Транспортная задача.

§1. Общая постановка задачи.

Под термином транспортная задача понимается широкий круг задач, необязательно транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся y производителей по n потребителям.

При планировании наиболее рациональных перевозок грузов выделяют следующие виды транспортных задач:

1. Транспортная задача по критерию стоимости перевозок.

2. Транспортная задача по критерию времени.

3. Транспортная задача на определение кратчайших расстояний по заданной сети дорог.

Транспортная задача ставится следующим образом:

Найти объемы перевозок для каждой пары поставщик - потребитель так, чтобы:

1. Мощности всех поставщиков были реализованы.

2. Удовлетворить все потребности потребителей.

3. Суммарные затраты на перевозку были минимальными.

Задача:

В 3-х пунктах отправления , сосредоточен груз . Этот груз следует доставить в каждый из четырех пунктов в количестве . Стоимость перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения задана для всех комбинаций. Определить такой план перевозок, чтобы их стоимость была минимальной.

					Запасы
Потребности

- стоимость перевозок единицы продукции из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

- количество единиц груза, отправленного из i-го пункта в j-й.

Если , т.e. если объем суммарных запасов груза равен суммарному объему потребностей в этих грузах, то транспортная задача является закрытой. Если же эти суммы не равны, то задача называется открытой и в этом случае следует вводить ложный пункт отправления или назначения с нулевыми тарифами.

Система ограничений в транспортной задаче имеет вид:

Данную задачу можно решить симплекс методом, но особенности модели таковы:

1. Система ограничений - есть система уравнений.

2. Коэффициенты при переменных в системе ограничений равны 1 или 0.

3. Каждая переменная входит в систему ограничений дважды.

Это позволяет разработать специальные методы решения транспортной задачи:

если m - число пунктов отправления, a n- число пунктов назначения, то в общем случае уравнений будет . Одно уравнение системы ограничений транспортной задачи является следствием остальных и его можно исключить. В общем случае система ограничений содержит уравнений с числом переменных. Эта система всегда разрешима.

Определение 1. План перевозок, обращающий в минимум суммарные транспортные издержки, называется оптимальным планом или оптимальным решением.

Решение транспортной задачи разбивается на 2 этапа:

1. Определение опорного решения.

2. Построение последовательных итераций, т.е. приближение к оптимальному решению.